Estudar a continuidade da função
f(x, y)=log (4 x^2+9 y^2-36)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade de
f(x,y)=logl(4x^2+9y^2-36r)
O ponto-chave é lembrar que a função log só está definida (e contínua) quando o argumento é estritamente positivo. Para resolver, vamos (1) encontrar o domínio de definição exigindo a positividade de 4x^2+9y^2-36 e (2) usar o fato de que polinômios são contínuos e a composição com log preserva a continuidade onde faz sentido.

Passo 2

Definimos a função interna
p(x,y)=4x^2+9y^2-36
Para que f(x,y) exista precisamos de
p(x,y)>0,
isto é,
4x^2+9y^2-36>0 Long<=ftrightarrow 4x^2+9y^2>36
Esse conjunto é o exterior da elipse x^29+y^24=1 no plano.

Passo 3

Sabemos que:
  1. Qualquer polinômio em (x,y), como p(x,y)=4x^2+9y^2-36, é contínuo em R^2.
  2. A função logcolon(0,infty)toR é contínua em todo seu domínio.
  3. A composição de funções contínuas é contínua no domínio onde todas estão bem definidas.
Como p(x,y) é contínua e assume valores em (0,infty) exatamente quando (x,y) satisfaz 4x^2+9y^2>36, segue que
f(x,y)=logl(p(x,y)r)
é contínua exatamente nesse mesmo conjunto.

Resposta

A função f é contínua no domínio
(x,y)inR^2mid 4x^2+9y^2>36

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