Encontre a soma da série
sumn=1^infty 1n^2+n

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty 1n^2+n. Vamos usar o conteúdo de séries infinitas e, em particular, o método de séries telescópicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, notamos que n^2+n = n(n+1), então cada termo pode ser reescrito usando frações parciais:

Passo 3

1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 4

Agora, definimos a soma parcial até N:

Passo 5

SN = sumn=1^N l(1n - 1n+1r)

Passo 6

Observe o efeito telescópico: ao expandir, a maioria dos termos internos se cancelam, sobrando apenas:

Passo 7

SN = 1 - 1N+1

Passo 8

Para obter a soma da série infinita, fazemos N to infty:

Passo 9

limNtoinfty SN = limNtoinfty l(1 - 1N+1r) = 1

Resposta

1

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