Encontre a soma da série
sumn=1^infty 1(n+1) cdot(n+2) cdot(n+3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)(n+3)
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para obter uma soma telescópica.

Passo 2

Para cada termo defina k=n+1. Então
1(n+1)(n+2)(n+3) = 1k(k+1)(k+2)
A decomposição em frações parciais é
1k(k+1)(k+2) = 12l(1k(k+1) - 1(k+1)(k+2)r)

Passo 3

Substituindo na soma parcial até N,
SN = sumn=1^N1(n+1)(n+2)(n+3) = 12sumn=1^Nl(1(n+1)(n+2) - 1(n+2)(n+3)r)
Esse somatório é telescópico: quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
SN = 12l(12cdot3 - 1(N+2)(N+3)r)

Passo 4

Fazendo Ntoinfty, o segundo termo some pois
limNtoinfty1(N+2)(N+3)=0
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sumn=1^infty1(n+1)(n+2)(n+3) = limNtoinftySN = 12cdot16 = 112

Resposta

112

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