Sejam as funções vetoriais
& f(t)=sin (t) i+e^3 t j+3 k ; & g(t)=t^3 i+5 j+cos (2 t) k
e
h(t)=2 i+4 t j
Calcule:
(f(t) cdot g(t))^prime

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
f(t)=sin(t),i+e^3t,j+3,k, g(t)=t^3,i+5,j+cos(2t),k,
e pede a derivada do produto escalar (f(t)cdotg(t))'.
O conteúdo necessário é a regra de derivação de produto escalar:
l(fcdotgr)'=f,'cdotg+fcdotg,'

Passo 2

Primeiro calculamos explicitamente o produto escalar:
f(t)cdotg(t) &=l(sin(t)r),(t^3) + l(e^3tr),(5) + 3l(cos(2t)r) &=t^3sin(t)+5e^3t+3cos(2t)

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
  1. Para t^3sin(t), usamos regra do produto:
ddtl(t^3sin(t)r) =3t^2sin(t)+t^3cos(t)
  1. Para 5e^3t, temos
ddtl(5e^3tr) =15e^3t
  1. Para 3cos(2t), usamos a cadeia:
ddtl(3cos(2t)r) =-6sin(2t)
Somando tudo, obtemos a derivada desejada.

Resposta

(f(t)cdotg(t))' =3t^2sin(t)+t^3cos(t)+15e^3t-6sin(2t)

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