Encontre a soma da série:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma série telescópica de arctangente. Vamos então formar a soma parcial, observar o cancelamento dos termos e tirar o limite.
Passo 2
Definimos a soma parcial até
como
Ao escrever os primeiros termos, vemos que muitos valores se cancelam:
Passo 3
Escrevendo explicitamente alguns termos de
:
Note que
aparece com sinal
e depois com sinal
, o mesmo para
. Tudo isso cancela, sobrando apenas
Passo 4
Para obter a soma da série original, tomamos o limite
. Sabemos que
e que . Logo,
e que