Encontre a soma da série:
sumn=1^infty(tg^-1(n+1)-tg^-1(n))

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^inftyl(tg^-1(n+1)-tg^-1(n)r)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma série telescópica de arctangente. Vamos então formar a soma parcial, observar o cancelamento dos termos e tirar o limite.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N como
SN = sumn=1^Nl(tg^-1(n+1)-tg^-1(n)r)
Ao escrever os primeiros termos, vemos que muitos valores se cancelam:

Passo 3

Escrevendo explicitamente alguns termos de SN:
SN = l(tg^-1(2)-tg^-1(1)r) +l(tg^-1(3)-tg^-1(2)r) +cdots +l(tg^-1(N+1)-tg^-1(N)r)
Note que tg^-1(2) aparece com sinal + e depois com sinal -, o mesmo para tg^-1(3),dots,tg^-1(N). Tudo isso cancela, sobrando apenas
SN = tg^-1(N+1)-tg^-1(1)

Passo 4

Para obter a soma da série original, tomamos o limite Ntoinfty. Sabemos que
limxtoinftytg^-1(x)=tfracpi2
e que tg^-1(1)=tfracpi4. Logo,
limNtoinftySN =pi2-pi4 =pi4

Resposta

pi4

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