Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
onde
O método é usar transformada de Laplace: precisamos das propriedades
- linearidade,
- , ,
- primeira fórmula do deslocamento no domínio de tempo (
e ).
Passo 2
Aplicando a Laplace em ambos os lados e usando
,
Logo
Passo 3
Expressamos
com o degrau de Heaviside:
Pela propriedade do deslocamento na transformada,
Passo 4
Usando a tabela:
e , temos
e , temos
Portanto
Passo 5
Então
Escrevemos
com
Passo 6
Invertendo
por frações parciais:
resolve-se
,
,
,
. Assim
Passo 7
Pela propriedade do atraso,
.
Para temos exatamente
.
Para primeiro decompomos
.
Para
Para
o que dá
Então
Resposta
Juntando tudo
y=y1-y2-y3 , obtemos a solução em partes:
Para
0<= t<3 :
Para
t>=3 :
que se simplifica para