Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
y^prime prime+2 y^prime+y=f(t), y(0)=y^prime(0)=0, onde f(t)=llt, & 0 <= t<3 1, & t >= 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
onde
O método é usar transformada de Laplace: precisamos das propriedades
  1. linearidade,
  2. , ,
  3. primeira fórmula do deslocamento no domínio de tempo ( e ).

Passo 2

Aplicando a Laplace em ambos os lados e usando ,
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Passo 3

Expressamos com o degrau de Heaviside:
Pela propriedade do deslocamento na transformada,

Passo 4

Usando a tabela:
e , temos
Portanto

Passo 5

Então
Y(s) =1s^2,(s+1)^2 -e^-3ss^2,(s+1)^2 -2,e^-3ss,(s+1)^2
Escrevemos
Y(s)=Y1(s)-Y2(s)-Y3(s),
com
Y1(s)=1s^2(s+1)^2, Y2(s)=e^-3ss^2(s+1)^2, Y3(s)=2,e^-3ss(s+1)^2

Passo 6

Invertendo por frações parciais:
resolve-se , , , . Assim

Passo 7

Pela propriedade do atraso,
.
Para temos exatamente .
Para primeiro decompomos
o que dá
Então

Resposta

Juntando tudo y=y1-y2-y3, obtemos a solução em partes:
Para 0<= t<3:
y(t)=t-2+2e^-t+t,e^-t
Para t>=3:
y(t) =l[t-2+2e^-t+t,e^-tr] -l[(t-3)-2+2e^-(t-3)+(t-3)e^-(t-3)r] -2l[1-e^-(t-3)-(t-3)e^-(t-3)r]
que se simplifica para
y(t)=1+2e^-t+t,e^-t+(t-3)e^-(t-3)

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