Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
y^prime prime+4 y^prime+13 y=1+de<a(t-8) ; y(0)=3, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + 4y' +13y = 1 + de<a(t-8),
com condições iniciais y(0)=3, y'(0)=2.
Conteúdo: transformada de Laplace para resolver EDO linear de 2º ordem com termos não homogêneos (forçamento constante e impulso deslocado). Vamos usar:
  • Propriedade da transformada de derivadas,
  • L1 = tfrac1s,
  • Lde<a(t-a)=e^-as,
  • Teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s),
e ainda L1=1/s, Lde<a(t-8)=e^-8s, obtemos
l[s^2Y -3s -2r] +4l[sY-3r] +13Y ;=;1s + e^-8s
Agrupando termos em Y(s):
l(s^2+4s+13r)Y(s);-;(3s+2+12);=;1s + e^-8s,
isto é
l(s^2+4s+13r)Y(s);-;(3s+14);=;1s + e^-8s

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = 1s + e^-8s + (3s+14)s^2+4s+13
Completa-quadrado no denominador:
s^2+4s+13=(s+2)^2+3^2

Passo 4

Separamos Y(s) em três parcelas:
Y(s) =underbrace3s+14(s+2)^2+9Y1(s) ;+;underbrace1/s(s+2)^2+9Y2(s) ;+;underbracee^-8s(s+2)^2+9Y3(s)

Passo 5

Vamos inverter cada parte:
  1. Y1(s)=dfrac3s+14(s+2)^2+3^2. Escreva 3s+14=3(s+2)+8, logo
Y1(s) =3,s+2(s+2)^2+3^2 +8,1(s+2)^2+3^2
Usando tabela:
L^-1!s+2(s+2)^2+3^2 =e^-2tcos(3t), L^-1!1(s+2)^2+3^2 =13e^-2tsin(3t)
Logo
y1(t)=3e^-2tcos(3t)+83e^-2tsin(3t)
  1. Y2(s)=dfrac1/s(s+2)^2+9. Fazemos frações parciais:
1sl((s+2)^2+9r) =As+B(s+2)+C(s+2)^2+9
Resolvendo, obtém-se
A=113, B=-113, C=-213
Isto dá
y2(t) =113 - 113e^-2tcos(3t) - 239e^-2tsin(3t)
  1. Y3(s)=dfrace^-8s(s+2)^2+9. Pelo teorema do deslocamento em t:
L^-1F(s)e^-8s =H(t-8),f(t-8),
onde f(t)= L^-1F(s)=tfrac13e^-2tsin(3t).
Então
y3(t)=H(t-8),13e^-2,(t-8)sinl(3(t-8)r)

Passo 6

Somando y(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t) e combinando termos similares de e^-2tcos3t e e^-2tsin3t, obtemos
y(t) =3813e^-2tcos(3t) +3413e^-2tsin(3t) +113 +H(t-8),13,e^-2(t-8)sinl(3(t-8)r)

Resposta

boxed y(t) =3813e^-2tcos(3t) +3413e^-2tsin(3t) +113 +H(t-8),13,e^-2(t-8)sinl(3(t-8)r)

Exercícios relacionados