Encontre a soma da série
sumn=0^infty (-1)^n pi^2 n6^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=0^infty(-1)^n,pi^2n6^2n,(2n)!
O conteúdo envolve soma de séries de potências e reconhecimento da série de Maclaurin da função cosseno.

Passo 2

Recordamos a expansão de Maclaurin para cos(x):
cos(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!

Passo 3

Comparando os termos, vemos que basta tomar x=tfracpi6, pois
(-1)^n(pi/6)^2n(2n)! =(-1)^n,pi^2n6^2n,(2n)!

Passo 4

Logo, a soma da série é
cos!l(tfracpi6r),
e sabemos que
cos!l(tfracpi6r)=raiz32

Resposta

raiz32

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