Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n+1}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}
e pede para verificar, usando o teste de D’Alembert, se essa série é convergente ou divergente. Informação relevante: os termos gerais são positivos e a soma começa em n=1. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência pela razão (teste de D’Alembert).
Passo 2
Apresentando o teste de D’Alembert (razão) de maneira didática: seja uma série com termo geral a_n (aqui assumimos a_n\neq0 para n suficientemente grande). Definimos
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicando as variáveis: a_n é o n-ésimo termo da série; a_{n+1} é o termo seguinte. Tomamos o limite da razão em módulo para ver se as razões entre termos vão para um número menor que 1 (decaimento exponencial) ou maior que 1 (crescimento) ou ficam em 1.
Passo 3
Identificamos o termo geral da nossa série:
a_n=\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}.
Agora calculamos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+2)2^{n+2}}.
Formamos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplificamos passo a passo:
Tomando n\to\infty as frações \tfrac{1}{n} e \tfrac{2}{n} vão para 0, então
L=\frac{1+0}{2(1+0)}=\frac{1}{2}.
Passo 5
Aplicando o teste: obtivemos L=\tfrac{1}{2}. Como L<1, pela conclusão do teste de D’Alembert a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso significa simplesmente que a série é convergente.