Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}
e pede para verificar, usando o teste de D’Alembert, se essa série é convergente ou divergente. Informação relevante: os termos gerais são positivos e a soma começa em n=1. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência pela razão (teste de D’Alembert).

Passo 2

Apresentando o teste de D’Alembert (razão) de maneira didática: seja uma série com termo geral a_n (aqui assumimos a_n\neq0 para n suficientemente grande). Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Interpretação do teste:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicando as variáveis: a_n é o n-ésimo termo da série; a_{n+1} é o termo seguinte. Tomamos o limite da razão em módulo para ver se as razões entre termos vão para um número menor que 1 (decaimento exponencial) ou maior que 1 (crescimento) ou ficam em 1.

Passo 3

Identificamos o termo geral da nossa série:
a_n=\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}.
Agora calculamos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+2)2^{n+2}}.
Formamos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplificamos passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{(n+2)2^{n+2}}}{\dfrac{1}{(n+1)2^{n+1}}} =\frac{(n+1)2^{n+1}}{(n+2)2^{n+2}}.
Agora separamos a potência de 2:
\frac{(n+1)2^{n+1}}{(n+2)2^{n+2}}=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{2^{n+1}}{2^{n+2}} =\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2(n+2)}.

Passo 4

Calculamos o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(n+2)}.
Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2(n+2)}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2\bigl(1+\tfrac{2}{n}\bigr)}.
Tomando n\to\infty as frações \tfrac{1}{n} e \tfrac{2}{n} vão para 0, então
L=\frac{1+0}{2(1+0)}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o teste: obtivemos L=\tfrac{1}{2}. Como L<1, pela conclusão do teste de D’Alembert a série converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso significa simplesmente que a série é convergente.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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