O enunciado pede uma subfamília maximal de colunas e outra de linhas de A que sejam linearmente independentes. O conteúdo envolvido é posto de matriz e independência linear, e para encontrar essas subfamílias usamos eliminação de Gauss para achar os pivôs (colunas-pivô e linhas-pivô).
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss em A sem trocar linhas, visando zerar entradas abaixo de um pivô em cada coluna:
Usamos R_1 como pivô em coluna 1 e fazemos R_3\to R_3-R_1, R_4\to R_4-R_1.
Como todas as entradas em coluna 2 ficam zero, pulamos para a coluna 3. Temos R_2 com entry 1 em (2,3), então é pivô em coluna 3. Eliminamos as outras entradas em coluna 3 usando múltiplos de R_2.
O resultado da eliminação mostra que só restam pivôs em (1,1) e (2,3), e todas as outras linhas tornam-se nulas.
Passo 3
Dos pivôs em (1,1) e (2,3) concluímos:
posto\,(A)=2;
colunas-pivô (independentes) são a coluna 1 e a coluna 3 da matriz original.
Portanto, uma subfamília maximal independente das colunas é formada pelas colunas 1 e 3.
Passo 4
Como não houve troca de linhas no processo, os pivôs também indicam que as linhas originais correspondentes R_1 e R_2 são independentes, e as demais ficam como combinações lineares dessas. Assim, uma subfamília maximal independente das linhas é formada pelas linhas 1 e 2.
Resposta
Subfamília maximal independente das colunas: colunas 1 e 3.
Subfamília maximal independente das linhas: linhas 1 e 2.