Encontre uma subfamília maximal independente das colunas e uma das linhas da seguinte matriz:
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 5 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma subfamília maximal de colunas e outra de linhas de A que sejam linearmente independentes. O conteúdo envolvido é posto de matriz e independência linear, e para encontrar essas subfamílias usamos eliminação de Gauss para achar os pivôs (colunas-pivô e linhas-pivô).

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A sem trocar linhas, visando zerar entradas abaixo de um pivô em cada coluna:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & 4 & 6\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -3 & 0 & -1 & 1\\\\ 1 & -3 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Usamos R_1 como pivô em coluna 1 e fazemos R_3\to R_3-R_1, R_4\to R_4-R_1.
  2. Como todas as entradas em coluna 2 ficam zero, pulamos para a coluna 3. Temos R_2 com entry 1 em (2,3), então é pivô em coluna 3. Eliminamos as outras entradas em coluna 3 usando múltiplos de R_2.
O resultado da eliminação mostra que só restam pivôs em (1,1) e (2,3), e todas as outras linhas tornam-se nulas.

Passo 3

Dos pivôs em (1,1) e (2,3) concluímos:
  • posto \,(A)=2;
  • colunas-pivô (independentes) são a coluna 1 e a coluna 3 da matriz original.
Portanto, uma subfamília maximal independente das colunas é formada pelas colunas 1 e 3.

Passo 4

Como não houve troca de linhas no processo, os pivôs também indicam que as linhas originais correspondentes R_1 e R_2 são independentes, e as demais ficam como combinações lineares dessas. Assim, uma subfamília maximal independente das linhas é formada pelas linhas 1 e 2.

Resposta

Subfamília maximal independente das colunas: colunas 1 e 3.
Subfamília maximal independente das linhas: linhas 1 e 2.

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