Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π, utilizando as informações dadas em cada caso.
π contém A=(1,-1,1) e r: X=(0,2,2)+\lambda(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas do plano \pi que contém o ponto
A = (1,-1,1)
e a reta
r\colon \mathbf{X} = (0,2,2) + \lambda\,(1,1,-1).
O conteúdo aqui é “equação de plano em \mathbb{R}^3”. Para montar a equação vetorial de \pi precisamos de um ponto do plano (já temos A) e de dois vetores diretores que gerem o plano: um é o vetor diretor de r e o outro pode ser obtido ligando A a um ponto qualquer de r.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r. Da equação
\mathbf{X} = (0,2,2) + \lambda\,(1,1,-1)
vemos que
\mathbf{v} = (1,1,-1)
é um vetor diretor de \pi.

Passo 3

Escolhemos o ponto base da reta r, digamos
P_0 = (0,2,2).
O vetor que liga P_0 a A é
\mathbf{w} = A - P_0 = (1,-1,1) - (0,2,2) = (1,-3,-1).
Como \mathbf{w} não é múltiplo de \mathbf{v}, ele é o segundo vetor diretor do plano.

Passo 4

Com o ponto A e os vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w} temos a equação vetorial de \pi:
\mathbf{X} \;=\; (1,-1,1) \;+\; s\,(1,1,-1) \;+\; t\,(1,-3,-1),
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para obter as equações paramétricas, escrevemos cada componente de \mathbf{X}=(x,y,z):
\begin{cases} x = 1 + s + t,\\\ y = -1 + s - 3t,\\\ z = 1 - s - t. \end{cases}

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{X} = (1,-1,1) + s\,(1,1,-1) + t\,(1,-3,-1),\quad s,t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 + s + t,\\\ y = -1 + s - 3t,\\\ z = 1 - s - t. \end{cases}

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