Os problemas 26 e 27 se referem aos seguintes subespaços do
\mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & \mathrm{S}_{1}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{~b}, \mathrm{c}, \mathrm{~d}) / \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\} \mathrm{e} \\\ & \mathrm{~S}_{2}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{~b}, \mathrm{c}, \mathrm{~d}) / \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}=0 \mathrm{e} \mathrm{c}=3 \mathrm{~d}\} \end{aligned}
Determinar dim
S_{2} e uma base de
S_{2}.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de S_{2}\subset\mathbb{R}^{4} definida por
a-2b=0 \quad\text{e}\quad c=3d,
e também uma base de S_{2}. O conteúdo necessário é o cálculo de dimensão de subespaços dados por equações lineares e a parametrização desses subespaços.

Passo 2

Cada equação impõe uma restrição linear independente em \mathbb{R}^{4}. Como há duas restrições e elas são independentes (uma envolve apenas a,b e a outra apenas c,d), o número de graus de liberdade de S_{2} será
4 - 2 = 2.

Passo 3

Para parametrizar, escolhemos variáveis livres b=s e d=t. Das equações,
a-2b=0\implies a=2b=2s, \quad c=3d=3t.

Passo 4

Assim, um vetor genérico de S_{2} é
(a,b,c,d) = (2s,s,3t,t) = s\,(2,1,0,0) \;+\; t\,(0,0,3,1).
Daí vemos que \{(2,1,0,0),\,(0,0,3,1)\} gera S_{2} e é linearmente independente.

Resposta

\dim S_{2} = 2.
Uma base de S_{2}$ é \(\{(2,1,0,0),\,(0,0,3,1)\}.)

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