Encontre os subgrupos de S3 de ordem 2 e 3.

Passo 1

O enunciado pede para achar os subgrupos de S3 de ordem 2 e de ordem 3. Vamos usar o Teorema de Lagrange para ver que as únicas possíveis ordens de subgrupos são divisores de lvert S3rvert=6, ou seja, 1,2,3,6. Em seguida, identificamos em S3 os elementos de ordem 2 e de ordem 3, que geram subgrupos cíclicos nessas ordens.

Passo 2

Para os subgrupos de ordem 2 precisamos de elementos de ordem 2 em S3. Os únicos são as transposições (1,2), (1,3) e (2,3). Cada transposição tau satisfaz tau^2=e e gera um subgrupo cíclico de ordem 2. Logo, os subgrupos de ordem 2 são
lang<=(1,2)rang<==e,(1,2), lang<=(1,3)rang<==e,(1,3), lang<=(2,3)rang<==e,(2,3)

Passo 3

Para um subgrupo de ordem 3 precisamos de um elemento de ordem 3 em S3. Estes são os 3-ciclos (1,2,3) e seu inverso (1,3,2). Ambos geram o mesmo subgrupo cíclico, pois (1,3,2)=(1,2,3)^-1. Assim o único subgrupo de ordem 3 é
lang<=(1,2,3)rang<==e,,(1,2,3),,(1,3,2)

Resposta

Os subgrupos de ordem 2 são e,(1,2), e,(1,3) e e,(2,3).
O subgrupo de ordem 3 é e,(1,2,3),(1,3,2).

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