Encontre os subgrupos de
de ordem 2 e 3.
Passo 1
O enunciado pede para achar os subgrupos de
de ordem 2 e de ordem 3. Vamos usar o Teorema de Lagrange para ver que as únicas possíveis ordens de subgrupos são divisores de
, ou seja,
. Em seguida, identificamos em
os elementos de ordem 2 e de ordem 3, que geram subgrupos cíclicos nessas ordens.
Passo 2
Para os subgrupos de ordem 2 precisamos de elementos de ordem 2 em
. Os únicos são as transposições
,
e
. Cada transposição
satisfaz
e gera um subgrupo cíclico de ordem 2. Logo, os subgrupos de ordem 2 são
Passo 3
Para um subgrupo de ordem 3 precisamos de um elemento de ordem 3 em
. Estes são os 3-ciclos
e seu inverso
. Ambos geram o mesmo subgrupo cíclico, pois
. Assim o único subgrupo de ordem 3 é
Resposta
Os subgrupos de ordem 2 são
,
e
.
O subgrupo de ordem 3 é .
O subgrupo de ordem 3 é