Seja S=R backslash-1 e defina uma operação binária sobre S por a * b=a+b+a b. Prove que (S, *) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = Rsetminus-1
com a operação binária
a * b = a + b + a,b
Queremos provar que (S,*) é um grupo abeliano. A estratégia é notar que
a * b + 1 = (1 + a)(1 + b)
e usar o isomorfismo com o grupo multiplicativo Rsetminus0.

Passo 2

Fechamento: para a,bin S temos
a * b + 1 = (1 + a)(1 + b)
Como 1 + a neq 0 e 1 + b neq 0, o produto (1 + a)(1 + b) é não nulo, logo a * b + 1 neq 0 e a * b neq -1. Assim a * bin S.

Passo 3

Associatividade e comutatividade: defina o mapeamento
varphi: S to Rsetminus0, varphi(a) = 1 + a
Então
varphi(a * b) = 1 + (a * b) = (1 + a)(1 + b) = varphi(a),varphi(b)
Como a multiplicação em Rsetminus0 é associativa e comutativa, segue que a operação * também o é.

Passo 4

Elemento neutro: na imagem, varphi(e) = 1 é identidade multiplicativa, logo
e = varphi^-1(1) = 1 - 1 = 0
De fato, para qualquer ain S,
a * 0 = a + 0 + acdot 0 = a, 0 * a = a

Passo 5

Inversos: dado ain S, varphi(a)neq0 tem inverso multiplicativo varphi(a)^-1 = tfrac11 + a. Logo
a^-1 = varphi^-1l(varphi(a)^-1r) = 11 + a - 1 = -a1 + a
Verifica-se que
a * l(-tfraca1 + ar) = 0

Resposta

Logo, (S,*) é um grupo abeliano, com elemento neutro 0 e inverso de a dado por -tfraca1 + a.

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