Seja
e defina uma operação binária sobre
por
. Prove que
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação binária
Queremos provar que
é um grupo abeliano. A estratégia é notar que
e usar o isomorfismo com o grupo multiplicativo
.
Passo 2
Fechamento: para
temos
Como
e
, o produto
é não nulo, logo
e
. Assim
.
Passo 3
Associatividade e comutatividade: defina o mapeamento
Então
Como a multiplicação em
é associativa e comutativa, segue que a operação
também o é.
Passo 4
Elemento neutro: na imagem,
é identidade multiplicativa, logo
De fato, para qualquer
,
Passo 5
Inversos: dado
,
tem inverso multiplicativo
. Logo
Verifica-se que
Resposta
Logo,
é um grupo abeliano, com elemento neutro
e inverso de
dado por
.