Se H é um subgrupo de G tal que o produto de quaisquer duas classes laterais à direita de H em G é também uma classe lateral à direita de H em G, prove que H é normal em G.

Passo 1

O enunciado diz que H é subgrupo de G com a propriedade de que, dadas duas classes laterais à direita quaisquer de H em G, o seu produto também é uma classe lateral à direita de H. Queremos mostrar que isso obriga H a ser normal em G, ou seja, que para todo gin G e todo hin H temos
g,h,g^-1in H

Passo 2

Escolha um elemento arbitrário gin G. Considere as duas classes laterais à direita
gH e g^-1H
Pela hipótese, o produto dessas duas classes é novamente uma classe lateral à direita de H. Ou seja, existe algum xin G tal que
(gH),(g^-1H)=xH
Mas g,g^-1=e (elemento neutro de G) pertence a (gH)(g^-1H). Logo ein xH, o que implica que
xH = H
Portanto
(gH),(g^-1H)=H

Passo 3

Por definição do produto de classes laterais,
(gH),(g^-1H) =,g,h1,g^-1,h2 : h1,h2in H =H
Em particular, tomando h2=e e variando h1 por um elemento genérico hin H, vemos que
g,h,g^-1;in;H
Isso vale para todo gin G e todo hin H, o que é exatamente a condição para H ser um subgrupo normal de G.

Resposta

H é normal em G.

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