Se
é um subgrupo de
tal que o produto de quaisquer duas classes laterais à direita de
em
é também uma classe lateral à direita de
em
, prove que
é normal em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é subgrupo de
com a propriedade de que, dadas duas classes laterais à direita quaisquer de
em
, o seu produto também é uma classe lateral à direita de
. Queremos mostrar que isso obriga
a ser normal em
, ou seja, que para todo
e todo
temos
Passo 2
Escolha um elemento arbitrário
. Considere as duas classes laterais à direita
Pela hipótese, o produto dessas duas classes é novamente uma classe lateral à direita de
. Ou seja, existe algum
tal que
Mas
(elemento neutro de
) pertence a
. Logo
, o que implica que
Portanto
Passo 3
Por definição do produto de classes laterais,
Em particular, tomando
e variando
por um elemento genérico
, vemos que
Isso vale para todo
e todo
, o que é exatamente a condição para
ser um subgrupo normal de
.