Prove ou contradiga: Se
e
são cíclicos, então
é cíclico.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um grupo
com subgrupo normal
tal que
é cíclico e
é cíclico, então
necessariamente é cíclico. Vamos ver que isso é falso construindo um contra-exemplo concreto em grupos abelianos.
Passo 2
Escolhemos
o grupo abeliano livre de posto 2, e o subgrupo
Como
é gerado pelo único elemento
, temos imediatamente que
é cíclico.
Passo 3
Definimos o homomorfismo
Note que
é sobrejetor e
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo,
logo
é cíclico.
Passo 4
Mostramos agora que
não é cíclico. Suponha, por absurdo, que exista
tal que
Então deveria existir um
tal que
. Mas
tem primeira coordenada
, e para ser zero precisamos
. Como
e
são inteiros, isso força
ou
. Se
então
. Se
, então todo múltiplo de
é da forma
, que nunca produz
. Logo não é possível gerar todos os elementos de
a partir de um único gerador.
Resposta
O enunciado é falso: o contra-exemplo
,
mostra que
e
podem ser cíclicos sem que
seja cíclico.