Prove ou contradiga: Se H e G / H são cíclicos, então G é cíclico.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um grupo G com subgrupo normal H tal que H é cíclico e G/H é cíclico, então G necessariamente é cíclico. Vamos ver que isso é falso construindo um contra-exemplo concreto em grupos abelianos.

Passo 2

Escolhemos
G = Ztimes Z,
o grupo abeliano livre de posto 2, e o subgrupo
H = lang<=(1,0)rang<= = ,n(1,0)mid ninZsubset G
Como H é gerado pelo único elemento (1,0), temos imediatamente que HcongZ é cíclico.

Passo 3

Definimos o homomorfismo
picolon Gto Z, pi(x,y)=y
Note que pi é sobrejetor e
kerpi = (x,y)mid y=0 = ,n(1,0)mid ninZ=H
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo,
G/H cong Z,
logo G/H é cíclico.

Passo 4

Mostramos agora que G não é cíclico. Suponha, por absurdo, que exista (a,b)in G tal que
lang<= (a,b)rang<= = ,n(a,b)mid ninZ = G
Então deveria existir um n tal que n(a,b)=(0,1). Mas n(a,b)=(na,nb) tem primeira coordenada na, e para ser zero precisamos na=0. Como a e n são inteiros, isso força n=0 ou a=0. Se n=0 então n(a,b)=(0,0)neq(0,1). Se a=0, então todo múltiplo de (a,b) é da forma (0,nb), que nunca produz (1,0). Logo não é possível gerar todos os elementos de G a partir de um único gerador.

Resposta

O enunciado é falso: o contra-exemplo G=ZtimesZ, H=lang<=(1,0)rang<= mostra que H e G/H podem ser cíclicos sem que G seja cíclico.

Exercícios relacionados