Verifique se as funções dadas são limitadas em D. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de f.
f(x)=x|x|, D=Df

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x|x|
e pede para verificar se ela é limitada no domínio Df e determinar seus pontos (ou valores) de máximo e de mínimo.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, identifiquemos o domínio de f. Como |x| não pode ser zero no denominador,
Df = ,xinRmid xneq 0 = (-infty,0)cup(0,infty)
Em cada parte do domínio, f é constante. De fato, para x>0 temos |x|=x e
f(x)=xx=1,
enquanto para x<0 temos |x|=-x e
f(x)=x-x=-1
Em forma piecewise:
f(x)= -1, & x<0, 1, & x>0

Passo 3

Para checar se f é limitada, observamos que seus valores possíveis são só -1 e 1. Logo existem constantes m=-1 e M=1 tais que
m <= f(x) <= M forall,xin Df
Portanto f é limitada.

Passo 4

O valor máximo de f é
maxxin Df f(x) = 1,
e ele é atingido para todo x>0. Portanto o conjunto de pontos onde ocorre o máximo é (0,infty).

Passo 5

O valor mínimo de f é
minxin Df f(x) = -1,
e ele é atingido para todo x<0. Portanto o conjunto de pontos onde ocorre o mínimo é (-infty,0).

Resposta

A função é limitada pois -1<= f(x)<=1.
Máximo de f: valor 1, atingido em todo x>0.
Mínimo de f: valor -1, atingido em todo x<0.

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