Encontre a superfície de nível S_{k} e esboce-a geometricamente.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}, k=1

Passo 1

O enunciado pede a superfície de nível S_{1} da função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}
isto é, o conjunto
S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}.
Para entender a geometria, vamos estudar as seções horizontais e verticais e a assinatura da forma quadrática.

Passo 2

Impondo f(x,y,z)=1 obtemos
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
ou seja
x^{2}+y^{2}=z^{2}+1.
Isso mostra que, para cada plano horizontal z=z_{0}, a seção é o círculo de raio \sqrt{z_{0}^{2}+1}.

Passo 3

Como há dois quadrados positivos x^{2}, y^{2} e um negativo -z^{2}, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Ele é conectado e “aberto” ao longo de todo o eixo z, estreitando-se até o círculo mínimo de raio 1 em z=0.

Passo 4

Para completar o esboço, note as seções verticais:
  • Em x=0 fica y^{2}-z^{2}=1, uma hipérbole com assíntotas y=\pm z.
  • Em y=0 fica x^{2}-z^{2}=1, outra hipérbole análoga.
    Unindo as seções circulares horizontais com essas hipérboles, obtemos um “sanduíche” que afunila em z=0 e abre-se para |z|\to\infty, aproximando-se do cone x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Resposta

S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\},
que é um hiperbolóide de uma folha com seções horizontais circulares de raio \sqrt{z^{2}+1} e seções verticais hiperbólicas.

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