Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Se o último dígito de um número inteiro n é de 2,3.7 ou 8 , então n não é o quadrado de um número inteiro.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se o último dígito de um inteiro n é 2,3,7 ou 8, então n não é quadrado perfeito.”
Conteúdo: teoria de congruências (aritmética módulo 10). Vamos usar prova por contradição, mostrando que um quadrado perfeito nunca termina em 2,3,7 ou 8.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista um inteiro n cujo último dígito seja em \{2,3,7,8\} e que, ao mesmo tempo, n=k^2 para algum inteiro k. Isso implica
k^2 \equiv n \equiv d \pmod{10},
com d\in\{2,3,7,8\}.

Passo 3

Vamos listar todos os resíduos de quadrados módulo 10. Se k tem último dígito de 0 a 9, então
\begin{aligned} 0^2 &\equiv 0,\quad 1^2\equiv 1,\quad 2^2\equiv 4,\quad 3^2\equiv 9,\\\\ 4^2 &\equiv 6,\quad 5^2\equiv 5,\quad 6^2\equiv 6,\quad 7^2\equiv 9,\\\\ 8^2 &\equiv 4,\quad 9^2\equiv 1 \end{aligned} \pmod{10}.
Os resíduos possíveis de um quadrado módulo 10 são, portanto,
\{0,1,4,5,6,9\}\,.

Passo 4

Como \{2,3,7,8\}\cap\{0,1,4,5,6,9\}=\varnothing, não existe k tal que k^2\equiv d\pmod{10} com d\in\{2,3,7,8\}. Isso contradiz a suposição de que n=k^2. Logo, não pode haver quadrado perfeito cujo último dígito seja 2,3,7 ou 8.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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