Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Se o último dígito de um número inteiro n é de
ou 8 , então n não é o quadrado de um número inteiro.
Se o último dígito de um número inteiro n é de
Passo 1
O enunciado afirma: “Se o último dígito de um inteiro
é
ou
, então
não é quadrado perfeito.”
Conteúdo: teoria de congruências (aritmética módulo ). Vamos usar prova por contradição, mostrando que um quadrado perfeito nunca termina em
ou
.
Conteúdo: teoria de congruências (aritmética módulo
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista um inteiro
cujo último dígito seja em
e que, ao mesmo tempo,
para algum inteiro
. Isso implica
com
.
Passo 3
Vamos listar todos os resíduos de quadrados módulo
. Se
tem último dígito de
a
, então
Os resíduos possíveis de um quadrado módulo
são, portanto,
Passo 4
Como
, não existe
tal que
com
. Isso contradiz a suposição de que
. Logo, não pode haver quadrado perfeito cujo último dígito seja
ou
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.