Exercício 1. Mostrar, com um contraexemplo, que as proposições seguintes são falsas:
Se um inteiro n é divisível por 2 , ele é divisível por 4.
Se um inteiro n é divisível por 2 , ele é divisível por 4.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a proposição
“Se um inteiro é divisível por 2, então ele é divisível por 4”
é falsa. O conteúdo aqui é divisibilidade de inteiros e a técnica que vamos usar é apresentar um contraexemplo para uma implicação.
“Se um inteiro
é falsa. O conteúdo aqui é divisibilidade de inteiros e a técnica que vamos usar é apresentar um contraexemplo para uma implicação.
Passo 2
Para uma implicação do tipo
ser falsa, basta encontrar um caso em que
seja verdadeiro e
falso. Aqui:
: “
” (isto é, existe
tal que
)
: “
” (isto é, existe
tal que
)
Passo 3
Relembrando a definição de divisibilidade: dado
, dizemos que
é divisível por
, escrito
, se existe um inteiro
tal que
Passo 4
Escolhemos como contraexemplo
. Verificamos:
-
, pois . - Para
precisaríamos ter com ; isso não ocorre, pois não é inteiro.
Passo 5
Como em
a hipótese
é verdadeira e a conclusão
é falsa, a implicação original é falsa. Basta esse contraexemplo para refutar a proposição.
Resposta
Um contraexemplo é
, já que
mas
.