Exercício 1. Mostrar, com um contraexemplo, que as proposições seguintes são falsas:
Se um inteiro n é divisível por 2 , ele é divisível por 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a proposição
“Se um inteiro n é divisível por 2, então ele é divisível por 4”
é falsa. O conteúdo aqui é divisibilidade de inteiros e a técnica que vamos usar é apresentar um contraexemplo para uma implicação.

Passo 2

Para uma implicação do tipo
\text{se }P\text{ então }Qã
ser falsa, basta encontrar um caso em que P seja verdadeiro e Q falso. Aqui:
P: “ 2\mid n” (isto é, existe k\in\mathbb{Z} tal que n=2k)
Q: “ 4\mid n” (isto é, existe m\in\mathbb{Z} tal que n=4m)

Passo 3

Relembrando a definição de divisibilidade: dado a,b\in\mathbb{Z}, dizemos que a é divisível por b, escrito b\mid a, se existe um inteiro t tal que
a = b\,t.

Passo 4

Escolhemos como contraexemplo n=6. Verificamos:
  1. 2\mid 6, pois 6 = 2\cdot 3.
  2. Para 4\mid 6 precisaríamos ter 6 = 4m com m\in\mathbb{Z}; isso não ocorre, pois 6/4 = 1,5 não é inteiro.

Passo 5

Como em n=6 a hipótese 2\mid n é verdadeira e a conclusão 4\mid n é falsa, a implicação original é falsa. Basta esse contraexemplo para refutar a proposição.

Resposta

Um contraexemplo é n=6, já que 2\mid 6 mas 4\nmid 6.

Exercícios relacionados