Encontre T: R^3 longrightarrow R^2 tal que Ker(T)=lang<=(1,0,-1)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma transformação linear T: R^3toR^2 cujo núcleo seja ker(T)=lang<=(1,0,-1)rang<=. O conteúdo aqui envolve transformações lineares, dimensão do núcleo (nullidade), dimensão da imagem (posto) e a condição de ortogonalidade entre as linhas da matriz de T e os vetores do núcleo.

Passo 2

Pelo teorema da dimensão (posto-nullidade) temos dimker(T)+rank(T)=dimR^3=3. Como dimker(T)=1, segue que rank(T)=2. Logo, a matriz de T será 2times3 e de posto 2.

Passo 3

Se representarmos T por uma matriz AinR^2times3, o vetor (1,0,-1) deve satisfazer A,(1,0,-1)^T=0. Isso significa que cada linha r=(a,b,c) de A satisfaz acdot1 + bcdot0 + ccdot(-1)=0, ou seja a=c. Assim, as linhas têm a forma (a,b,a). Para ter posto 2, escolhemos duas linhas independentes.

Passo 4

Uma escolha simples é tomar as linhas (1,0,1) e (0,1,0). Assim,
A=1&0&10&1&0,
e definimos
T(x,y,z)=Axyz=(x+z,,y)

Passo 5

Para conferir, resolvemos T(x,y,z)=(0,0):
x+z=0,y=0,Rightarrow(x,y,z)=(t,0,-t)=t(1,0,-1),
que é exatamente lang<=(1,0,-1)rang<=.

Resposta

Uma possibilidade é
T(x,y,z)=(x+z,,y)

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