As familias seguintes são geradora do espaço ? Se a familia não é geradora, qual é o espaço gerado? em .
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a família de vetores (1,–2,–1), (–1,0,1) e (3,1,–1) em E=ℝ³. A pergunta é se eles geram todo E ou, se não geram, qual é o subespaço que eles geram. O conteúdo principal é geração de espaço vetorial e independência linear, e vamos usar o teste do determinante para famílias de três vetores em ℝ³.
Passo 2
Para verificar geração em ℝ³, montamos a matriz A com esses vetores como linhas e calculamos o determinante. Se det(A)≠0, os vetores são linearmente independentes e geram ℝ³. Segue a matriz:
Passo 3
Vamos calcular det(A) por expansão de Laplace na primeira linha. A expressão é: