As familias seguintes são geradora do espaço E ? Se a familia não é geradora, qual é o espaço gerado?
((1,-2,-1),(-1,0,1),(3,1,-1)) em E=R^3.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a família de vetores (1,–2,–1), (–1,0,1) e (3,1,–1) em E=ℝ³. A pergunta é se eles geram todo E ou, se não geram, qual é o subespaço que eles geram. O conteúdo principal é geração de espaço vetorial e independência linear, e vamos usar o teste do determinante para famílias de três vetores em ℝ³.

Passo 2

Para verificar geração em ℝ³, montamos a matriz A com esses vetores como linhas e calculamos o determinante. Se det(A)≠0, os vetores são linearmente independentes e geram ℝ³. Segue a matriz:
A= 1 & -2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & 1 & -1

Passo 3

Vamos calcular det(A) por expansão de Laplace na primeira linha. A expressão é:
det(A)=1cdotdet0 & 11 & -1-(-2)cdotdet-1 & 13 & -1+(-1)cdotdet-1 & 03 & 1

Passo 4

Agora calculando cada menor:
det0 & 11 & -1=0cdot(-1)-1cdot1=-1,
det-1 & 13 & -1=(-1)cdot(-1)-1cdot3=1-3=-2,
det-1 & 03 & 1=(-1)cdot1-0cdot3=-1

Passo 5

Substituindo na fórmula de det(A):
det(A)=1cdot(-1)-(-2)cdot(-2)+(-1)cdot(-1)=-1-4+1=-4neq0

Passo 6

Como det(A)≠0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo ℝ³.

Resposta

Sim. A família gera todo o espaço R^3.

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