As familias seguintes são geradora do espaço E ? Se a familia não é geradora, qual é o espaço gerado?
((1,0,0),(-1,2,-1),(0,2,-1)) em E=R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,0,0), (−1,2,−1) e (0,2,−1) geram todo E=ℝ³. Vamos usar os conceitos de combinação linear, independência e dimensão do espaço gerado.

Passo 2

Para testar independência, montamos a combinação linear nula:
a(1,0,0)+b(-1,2,-1)+c(0,2,-1)=(0,0,0)
Escrevendo por coordenadas, obtemos o sistema:
a - b = 0,2b + 2c = 0,-b - c = 0
Das duas últimas, 2b+2c=0 e −b−c=0 são equivalentes (c=−b). Da primeira vem a=b. Logo a=b e c=−b, com b livre → há infinitas soluções → dependência linear.

Passo 3

Como há uma relação de dependência entre três vetores em ℝ³, o posto é 2, ou seja, eles não geram todo ℝ³ mas sim um plano de dimensão 2. Basta escolher dois vetores independentes, por exemplo v₂=(−1,2,−1) e v₃=(0,2,−1), para descrever o espaço gerado.

Passo 4

Para achar a equação desse plano, calculamos o normal via produto vetorial:
(-1,2,-1)times(0,2,-1)=(0,-1,-2)
A equação implícita é
0cdot x -1cdot y -2cdot z=0
que simplifica para
y+2z=0
Portanto o espaço gerado é o plano definido por essa equação.

Resposta

A família não gera ℝ³. O espaço gerado é o plano (x,y,z)inR^3: y+2z=0.

Exercícios relacionados