Encontre T: R^3 longrightarrow R^3, tal que Im(T)= ([(1,0,-1),(1,2,2)]).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^3
cuja imagem seja
Im(T)=span(1,0,-1),,(1,2,2)
O conteúdo envolvido é o de espaço imagem de uma aplicação linear e a forma de defini-la em relação à base canônica de R^3.

Passo 2

Observe que os vetores
v1=(1,0,-1) e v2=(1,2,2)
são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo escalar do outro. Logo diml(spanv1,v2r)=2, e basta escolher uma aplicação linear de posto 2 que tenha exatamente esse span como imagem.

Passo 3

Uma construção natural é definir T sobre a base canônica
e1,e2,e3 de R^3 por
T(e1)=v1, T(e2)=v2, T(e3)=0
Então, para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, pela linearidade temos
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3) = x,(1,0,-1) + y,(1,2,2) + z,(0,0,0)

Passo 4

Somando as componentes, obtemos
T(x,y,z) = (,x+y,;2y,;-x+2y,)
Como todo vetor imagem é combinação de v1 e v2, fica claro que
Im(T)=spanv1,v2.
O posto de T é 2, compatível com uma imagem bidimensional.

Passo 5

Em forma de matriz, usando a base canônica, temos
[T]can = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -1 & 2 & 0 ,
pois as colunas são T(e1), T(e2) e T(e3).

Resposta

Uma transformação linear que funciona é
T(x,y,z) = (,x+y,;2y,;-x+2y,),
cuja imagem é exatamente span(1,0,-1),(1,2,2).

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