Quais das transformações abaixo são lineares?
T: R^2 longrightarrow M2 times 2, T(x, y)=[ccx & y y & -x].

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^2 longrightarrow M2times2, T(x,y)=x & y [6pt] y & -x
e pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear: checar aditividade e homogeneidade.]

Passo 2

Definição de transformação linear. Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar c,
1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade).

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
logo
T(u+v) = x1+x2 & y1+y2[4pt] y1+y2 & -,(x1+x2)
Por outro lado,
T(u)+T(v) = x1 & y1[4pt]y1 & -x1 + x2 & y2[4pt]y2 & -x2 = x1+x2 & y1+y2[4pt] y1+y2 & -x1 - x2
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).]

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Para cinR e u=(x,y),
c,u=(c,x,;c,y),
logo
T(c,u) = c,x & c,y[4pt] c,y & -,c,x = ccdot x & y[4pt] y & -,x = c,T(u)
Assim T(c,u)=c,T(u).]

Resposta

A transformação T é linear.

Exercícios relacionados