Quais das transformações abaixo são lineares?
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para verificar se
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear: checar aditividade e homogeneidade.]
Passo 2
Definição de transformação linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
,
.
(aditividade),
.
(homogeneidade).
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
logo
Por outro lado,
Portanto
.]
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Para
e
,
logo
Assim
.]
Resposta
A transformação
é linear.