Quais das transformações abaixo são lineares?
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
definida por
definida por
é linear. Para isso vamos usar a definição de aplicação linear, que exige duas propriedades:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade.
Sejam
Sejam
Então
logo
Por outro lado,
Como os dois resultados coincidem, temos
.
Passo 3
Verificação da homogeneidade.
Seja um escalar. Então
Seja
e
Portanto,
.
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.
Resposta
A transformação
é linear.