Quais das transformações abaixo são lineares?
T: P2 longrightarrow P3, T(a x^2+b x+c)=a x^3+b x^2+c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T: P2to P3
definida por
Tl(a x^2+b x+cr)=a x^3+b x^2+c
é linear. Para isso vamos usar a definição de aplicação linear, que exige duas propriedades:
  1. Aditividade: T(p+q)=T(p)+T(q).
  2. Homogeneidade: T(lambda p)=lambda,T(p).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam
p(x)=a x^2+b x+c, q(x)=a' x^2+b' x+c'
Então
p(x)+q(x)=(a+a')x^2+(b+b')x+(c+c'),
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Tl(p+qr) = (a+a')x^3+(b+b')x^2+(c+c')
Por outro lado,
T(p)+T(q) = l(a x^3+b x^2+cr) + l(a' x^3+b' x^2+c'r) = (a+a')x^3+(b+b')x^2+(c+c')
Como os dois resultados coincidem, temos T(p+q)=T(p)+T(q).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja lambda um escalar. Então
lambda,p(x)=lambda a,x^2+lambda b,x+lambda c
e
Tl(lambda pr) = lambda a,x^3+lambda b,x^2+lambda c = lambdal(a x^3+b x^2+cr) = lambda,T(p)
Portanto, T(lambda p)=lambda,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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