Em quanto tempo um capital aplicado a 48 % ao ano dobra o seu valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta quanto tempo leva para um capital dobrar de valor quando aplicado a uma taxa de 48% ao ano. Vamos usar conceitos de juros compostos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula dos juros compostos, que é:
M = P times (1 + i)^t
Onde:
  • M é o montante final,
  • P é o capital inicial,
  • i é a taxa de juros por período,
  • t é o tempo.

Passo 3

Como queremos dobrar o capital, o montante ( M ) será 2 vezes o capital inicial ( P ). Então, podemos montar a equação:
2P = P times (1 + 0.48)^t

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Dividindo ambos os lados por P :
2 = (1 + 0.48)^t
O que fica:
2 = 1.48^t

Passo 5

Para resolver para t , vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(2) = ln(1.48^t)

Passo 6

Utilizando a propriedade dos logaritmos ( ln(a^b) = b times ln(a) ):
ln(2) = t times ln(1.48)

Passo 7

Isolando t :
t = ln(2)ln(1.48)

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores:
ln(2) approx 0.6931 ln(1.48) approx 0.3920 t = 0.69310.3920 approx 1.767 anos

Resposta

Leva aproximadamente 1,77 anos para o capital dobrar de valor a uma taxa de 48% ao ano.

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