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tal que
, com
e
, utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. A gente vai usar a transformada de Laplace para resolver isso. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E:
E também sabemos que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar
nos termos:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a fração:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais. Vamos supor:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro, para
:
Substituindo
e
:
Finalmente, escolhendo
:
Substituindo
e
:
Então:
Passo 8
Agora que temos todos os coeficientes:
Então a decomposição fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é