Encontre y(t) tal que y^prime prime-y=sen t, com y(0)=-1 e y^prime(0)=0, utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - y = sin t com as condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 0 . A gente vai usar a transformada de Laplace para resolver isso. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E:
Ly = Y(s)
E também sabemos que:
Lsin t = 1s^2 + 1
Aplicando isso na nossa equação:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - Y(s) = 1s^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 0 na equação:
s^2 Y(s) - s (-1) - 0 - Y(s) = 1s^2 + 1
Simplificando:
s^2 Y(s) + s - Y(s) = 1s^2 + 1

Passo 4

Vamos isolar Y(s) nos termos:
Y(s)(s^2 - 1) + s = 1s^2 + 1
Então:
Y(s)(s^2 - 1) = 1s^2 + 1 - s
Y(s) = 1s^2 + 1 - ss^2 - 1

Passo 5

Vamos simplificar a fração:
Y(s) = 1 - s(s^2 + 1)(s^2 + 1)(s^2 - 1) = 1 - s^3 - s(s^2 + 1)(s^2 - 1)
Podemos fatorar o denominador:
s^2 - 1 = (s - 1)(s + 1)
Então:
Y(s) = 1 - s^3 - s(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1)

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais. Vamos supor:
1 - s^3 - s(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1) = As - 1 + Bs + 1 + Cs + Ds^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por (s - 1)(s + 1)(s^2 + 1) :
1 - s^3 - s = A(s + 1)(s^2 + 1) + B(s - 1)(s^2 + 1) + (Cs + D)(s^2 - 1)

Passo 7

Para encontrar os coeficientes A, B, C, D , podemos escolher valores de s que simplifiquem a equação.
Primeiro, s = 1 :
1 - 1 -1 = A(2)(2) Rightarrow -1 = 4A Rightarrow A = -14
Segundo, s = -1 :
1 - (-1)^3 - (-1) = 1 +1 +1 = 3 = B(-2)(2) Rightarrow 3 = -4B Rightarrow B = -34
Terceiro, para s = 0 :
1 - 0 -0 = A(1)(1) + B(-1)(1) + D(-1)
Substituindo A e B :
1 = (-14)(1) + (-34)(-1) - D
1 = -14 + 34 - D Rightarrow 1 = 24 - D Rightarrow D = 24 -1 = -12
Finalmente, escolhendo s = 2 :
1 - 8 -2 = A(3)(5) + B(1)(5) + (2C - 12)(3)
-9 = 15A +5B +6C - 32
Substituindo A e B :
-9 = 15(-14) +5(-34) +6C - 32
-9 = -154 - 154 +6C - 32
-9 = -304 - 32 +6C = -304 - 64 +6C = -364 +6C = -9 +6C
Então:
-9 = -9 +6C Rightarrow 6C = 0 Rightarrow C = 0

Passo 8

Agora que temos todos os coeficientes:
A = -14, B = -34, C = 0, D = -12
Então a decomposição fica:
Y(s) = -14cdot 1s - 1 - 34cdot 1s + 1 + 0cdot s - 12s^2 + 1 = -14cdot 1s - 1 - 34cdot 1s + 1 - 12cdot 1s^2 + 1

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
L^-1 1s - a = e^a t
L^-1 1s^2 + omega^2 = 1omega sin(omega t)
Aplicando isso:
y(t) = -14 e^t - 34 e^-t - 12 sin t

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = -14 e^t - 34 e^-t - 12 sin t

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