Encontre a temperatura de distribuição numa fina barra de cobre lateralmente isolada (
), com de 50 cm de comprimento e seção reta constante, tendo as extremidades em
e 50 e mantida a
, e a uma temperatura inicial de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a temperatura
numa barra de cobre de comprimento
, lateralmente isolada, com as extremidades mantidas a
em
e
, e com condição inicial dada por
. Os dados relevantes são:
comprimento da barra
, condições de contorno
e condição inicial
Nada mais é pedido além da temperatura de distribuição
para
e
.
Passo 2
Modelo matemático (equação do calor 1D, barra homogênea e isolada lateralmente): a equação parcial é
com
, domínio
,
, condições de contorno
e condição inicial
Vou resolver por séries de separação de variáveis (método clássico) porque as condições de contorno são homogêneas (zeros nas extremidades) e a função inicial é adequada para expansão em senos.
Passo 3
Ideia do método (explicação didática curta): procuramos soluções do tipo separável
. Substituindo na equação
dividindo por
obtemos uma igualdade entre uma função só de
e outra só de
, o que implica que ambas são iguais a uma constante negativa
. Isso dá dois problemas ordinários:
com
. Esses
não-triviais só existem para valores discretos
(autovalores) e as soluções
(autofunções) formam uma base ortogonal para expandirmos
.
Passo 4
Resolver o problema de autovalores para
: condições
com
. As soluções não-triviais surgem para
e as autofunções são
A parte temporal correspondente é
Passo 5
Forma geral da solução por superposição: como as
formam uma base ortogonal, a solução que satisfaz as condições de contorno e a equação é
onde os coeficientes
são determinados pela expansão da condição inicial
na base dos senos:
Passo 6
Fórmula dos coeficientes (ortogonalidade dos senos): para
vale
ou seja
Agora preciso calcular essa integral para a função triangular
.
Passo 7
Simplificar a função inicial
Note que
, portanto está compatível com as condições de contorno e não causa problemas na expansão.]
Passo 8
Calcular
escrevendo a integral em duas partes:
onde por simplicidade eu defino
. Vou calcular as duas integrais separadamente usando integração por partes quando necessário.
Passo 9
Calcular a primeira integral
. Antiderivada por partes (ou memorizar fórmula): uma primitiva de
é
Avaliada de
a
dá
Passo 10
Calcular a segunda integral
. Faço a manipulação
A primeira parte é simples e a segunda usa a antiderivada já escrita. Assim
e
Substituindo e simplificando (mostro a cancelação utilizada):
Agrupando termos em
e
obtemos (após cancelamentos)
Passo 11
Somar
. Usando as expressões obtidas:
Os termos em
cancelam, restando
Agora uso as identidades especiais:
e
. Assim
. Logo
Passo 12
Voltar à fórmula de
. Lembrando que
e
, obtemos
Substituindo
dá
Passo 13
Interpretar
: isso vale
para
par e alterna entre
e
para
ímpar. Mais precisamente, para
Portanto somente os termos ímpares aparecem na série (coeficientes para
par são zero). Podemos escrever a série usando somatório sobre índices
com
.
Passo 14
Escrever a solução final substituindo
e simplificando para somatório apenas sobre termos ímpares:
Recordando
, pode-se inserir esse valor na exponencial se quiser avaliação numérica posterior, mas a forma acima é a solução analítica em série.
Passo 15
Comentário prático e motivador: cada termo dessa série decai exponencialmente com o tempo, os termos de maior frequência (maior
) desaparecem mais rápido, ficando a solução suave e tendendo a zero como
(as extremidades são mantidas em zero, então a barra esfria até
). Você pode aproximar
na prova somando alguns primeiros termos (por exemplo
) — isso dá boa aproximação já para tempos não muito pequenos.