Encontre a transformada de Fourier de f(x) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. f(x)=\left\{\begin{aligned}-1 & \text { se }-1<x<0 \\\\ 1 & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} -1 & \text{se } -1<x<0,\\[4pt] 1 & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Vou usar a convenção padrão da transformada de Fourier
onde k\] é a variável de frequência (uma constante real) e \(i é a unidade imaginária. Essas são todas as informações que o enunciado dá; a função tem suporte em (-1,1) e é constante em cada subintervalo (-1,0) e (0,1).]
Passo 2
Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral da transformada reduz-se ao intervalo [-1,1]. Vamos escrever a transformada e separar a integral nos dois trechos onde f é constante:
O limite de nossa expressão quando k\to0 também dá 0, pois \sin(k/2)\approx k/2 quando k é pequeno, então \dfrac{4\sin^2(k/2)}{k}\approx k\to0. Assim a expressão é contínua em k=0 com valor 0.