Encontre a transformada de Fourier de f(x) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes.
f(x)=\left\{\begin{aligned}-1 & \text { se }-1<x<0 \\\\ 1 & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)\) definida por \[f(x)=\begin{cases} -1 & \text{se } -1<x<0,\\[4pt] 1 & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Vou usar a convenção padrão da transformada de Fourier
\mathcal{F}\{f\}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-ikx}\,dx,
onde k\] é a variável de frequência (uma constante real) e \(i é a unidade imaginária. Essas são todas as informações que o enunciado dá; a função tem suporte em (-1,1) e é constante em cada subintervalo (-1,0) e (0,1).]

Passo 2

Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral da transformada reduz-se ao intervalo [-1,1]. Vamos escrever a transformada e separar a integral nos dois trechos onde f é constante:
\mathcal{F}\{f\}(k)=\int_{-1}^{0} (-1)\,e^{-ikx}\,dx \;+\; \int_{0}^{1} 1\cdot e^{-ikx}\,dx.
Aqui usamos só a definição da função e a linearidade da integral. A ideia agora é calcular cada integral elementar de e^{-ikx}.

Passo 3

Lembrete rápido (aula curta): a primitiva de e^{-ikx} em x é
\int e^{-ikx}\,dx=\frac{e^{-ikx}}{-ik},
válida para k\neq0. Isso vem diretamente da regra da cadeia; diferenciar \frac{e^{-ikx}}{-ik} e^{-ikx}. Agora calculemos a primeira integral:
I_1=\int_{-1}^{0} (-1)\,e^{-ikx}\,dx = -\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{x=-1}^{x=0}.
Avalio o colchete:
\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{-1}^{0}=\frac{e^{0}-e^{ik}}{-ik}=\frac{1-e^{ik}}{-ik}.
Multiplicando pelo - que está em frente:
I_1=-\frac{1-e^{ik}}{-ik}=\frac{1-e^{ik}}{ik}.

Passo 4

Agora a segunda integral:
I_2=\int_{0}^{1} e^{-ikx}\,dx=\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{0}^{1}.
Avalio:
\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{0}^{1}=\frac{e^{-ik}-1}{-ik}=\frac{1-e^{-ik}}{ik}.
Portanto
I_2=\frac{1-e^{-ik}}{ik}.

Passo 5

Somando I_1 e I_2 obtemos a transformada:
\mathcal{F}\{f\}(k)=I_1+I_2=\frac{1-e^{ik}}{ik}+\frac{1-e^{-ik}}{ik}=\frac{2-(e^{ik}+e^{-ik})}{ik}.
Usando a identidade de Euler e^{ik}+e^{-ik}=2\cos k, simplificamos o numerador:
\mathcal{F}\{f\}(k)=\frac{2-2\cos k}{ik}=\frac{2(1-\cos k)}{ik}.

Passo 6

Podemos ainda usar a identidade trigonométrica 1-\cos k=2\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr) para obter uma forma alternativa e mais compacta:
\mathcal{F}\{f\}(k)=\frac{2\cdot 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr)}{ik}=\frac{4\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr)}{ik}.
Como é comum separar a parte imaginária, também podemos escrever
\mathcal{F}\{f\}(k)=-i\;\frac{4\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr)}{k}.
Isso mostra que a transformada é puramente imaginária (multiplicada por -i) e ímpar em k, o que bate com o fato de f ser ímpar: f(-x)=-f(x).

Passo 7

Caso k=0: a fórmula usada envolve divisão por k, então verificamos o valor diretamente pela definição:
\mathcal{F}\{f\}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}(-1)\,dx+\int_{0}^{1}1\,dx=-1+1=0.
O limite de nossa expressão quando k\to0 também dá 0, pois \sin(k/2)\approx k/2 quando k é pequeno, então \dfrac{4\sin^2(k/2)}{k}\approx k\to0. Assim a expressão é contínua em k=0 com valor 0.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(k)=\frac{2(1-\cos k)}{ik}=\frac{4\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr)}{ik}=-i\,\frac{4\sin^2\!\bigl(\tfrac{k}{2}\bigr)}{k},
com \mathcal{F}\{f\}(0)=0.

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