Encontre as tensões e direções principais para o estado tensional dado abaixo. \underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 4 \\\\ 0 & 10 & 0 \\\\ 4 & 0 & 12\end{array}\right]
e pede: encontrar as tensões principais (valores principais) e as direções principais (vetores próprios unitários) correspondentes. Informações relevantes fornecidas: \; \underset{\sim}{\tau} é uma matriz 3\times3 simétrica com elementos mostrados acima.
O objetivo é calcular os autovalores (tensões principais) e os autovetores unitários (direções principais) dessa matriz.]
Passo 2
Conceito essencial (mini-aula): para um estado tensional representado por uma matriz simétrica \underset{\sim}{\tau}, as tensões principais são os autovalores da matriz, ou seja, os \lambda que satisfazem
\det(\underset{\sim}{\tau}-\lambda I)=0.
Os vetores próprios associados (soluções não-triviais de (\underset{\sim}{\tau}-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}) dão as direções principais. Como a matriz é simétrica, todos os autovalores são reais e os autovetores podem ser escolhidos ortogonais; normalmente normalizamos esses vetores para obter direções unitárias.
note que a linha/coluna associada ao eixo y (segunda linha/coluna) está isolada (off-diagonais com ela são zero). Então \lambda=10 é um autovalor imediato com autovetor (0,1,0). Resta achar os autovalores associados ao subespaço x\!-\!z, isto é, os autovalores da submatriz 2\times2
Verificação rápida (sanidade): \mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2 e \mathbf{n}_3 são mutuamente ortogonais (por exemplo \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0, e \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_3\approx0), como esperado para matriz simétrica. Portanto temos as tensões principais e suas direções unitárias.
Resposta
\tau_1=10+2\sqrt5\quad direção principal unitária \displaystyle \mathbf{n}_1=\frac{1}{\sqrt{1+\varphi^2}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]0\\[3pt]\varphi\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0{,}52573\\[3pt]0{,}00000\\[3pt]0{,}85065\end{pmatrix} onde \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}.
\tau_2=10\quad direção principal unitária \displaystyle \mathbf{n}_2=\begin{pmatrix}0\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}.
\tau_3=10-2\sqrt5\quad direção principal unitária \displaystyle \mathbf{n}_3=\frac{1}{\sqrt{1+\varphi^{-2}}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]0\\[3pt]-\varphi^{-1}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0{,}85065\\[3pt]0{,}00000\\[3pt]-0{,}52573\end{pmatrix}.]