Encontre as tensões e direções principais para o estado tensional dado abaixo. \underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 4 & 2 \\\\ 0 & 2 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a tensão (tensor simétrico) na forma matricial e pede as tensões principais (valores próprios) e as direções principais (autovetores normalizados). Matriz fornecida:
O pedido é: encontrar os autovalores \lambda e, para cada autovalor, seu autovetor (direção principal) unitário.]
Passo 2
Conceito e equação que vamos usar (aula rápida, mas direta):
Tensões principais são os autovalores da matriz simétrica \underset{\sim}{\tau}. Ou seja, números \lambda tais que existe vetor não-nulo v com
\underset{\sim}{\tau}\,v=\lambda v.
Para encontrar \lambda resolvemos o polinômio característico
\det(\underset{\sim}{\tau}-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Esse determinante dá um polinômio cúbico em \lambda. Depois de obter cada \lambda, para achar a direção principal correspondente resolvemos o sistema linear
(\underset{\sim}{\tau}-\lambda I)\,v=0
e normalizamos v para obter a direção unitária.
Passo 3
Vamos montar e desenvolver o determinante característico. Começamos com
Agora precisamos resolver p(\lambda)=0. Para um polinômio cúbico com coeficientes inteiros, às vezes existem raízes racionais inteiras; aqui tentamos divisores de 38 e verificamos que não há raízes inteiras. Então usamos análise de sinal e métodos numéricos simples (bisseção / Newton) para obter aproximações dos três autovalores reais.
Passo 5
Localizamos os três autovalores por inspeção de sinais em intervalos e refinamento numérico (bisseção/Newton). Avaliando p(\lambda) encontramos trocas de sinal em intervalos que indicam um autovalor em cada um:
Um autovalor entre 4 e 5,
Um autovalor entre -4 e -3,
Um autovalor entre -3 e -2.
Refinando (bisseção + uma iteração tipo Newton para acelerar) obtemos aproximações, com precisão suficiente para trabalhar sem calculadora exata na prova:
Observação rápida: a soma dos autovalores deve ser igual à traça da matriz \tau. Aqui \mathrm{tr}(\tau)=-3+4-2=-1 e de fato 4{,}7227+(-3{,}2492)+(-2{,}4735)\approx -1 (cheque de consistência).
Passo 6
Agora achamos os autovetores (direções principais). Para cada [\lambda) resolvemos (\tau-\lambda I)v=0. Vamos fazer isso de modo prático: escolhemos x=1 como variável livre e expressamos y e z em função de x, depois normalizamos.
Primeiro autovalor \lambda_1\approx 4{,}7227. O sistema (\tau-\lambda_1 I)v=0 é
\begin{cases} (-3-\lambda_1)x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 1\cdot x + (4-\lambda_1) y + 2 z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 2 y + (-2-\lambda_1) z = 0. \end{cases}
Substituindo \lambda_1\approx 4{,}7227\]:
\[\begin{cases} -7{,}7227\,x + y = 0,\\[4pt] x -0{,}7227\,y + 2z = 0,\\[4pt] 2y -6{,}7227\,z = 0. \end{cases}\]
Da primeira equação \(y=7{,}7227\,x. Da terceira, com esse y,
Segundo autovalor \lambda_2\approx -3{,}2492\). Montando \((\tau-\lambda_2 I)v=0\):
\[\begin{cases} (-3-\lambda_2)x + y =0,\\[4pt] x + (4-\lambda_2)y +2z =0,\\[4pt] 2y +(-2-\lambda_2)z =0. \end{cases}
Com \lambda_2\approx -3{,}2492\] obtemos numéricamente
\[\begin{cases} 0{,}2492\,x + y =0,\\[4pt] x + 7{,}2492\,y +2z =0,\\[4pt] 2y + 1{,}2492\,z =0. \end{cases}\]
Da primeira equação \(y=-0{,}2492\,x. Da terceira,
Terceiro autovalor \lambda_3\approx -2{,}4735\). Montando o sistema:
\[\begin{cases} (-3-\lambda_3)x + y =0,\\[4pt] x + (4-\lambda_3)y +2z =0,\\[4pt] 2y +(-2-\lambda_3)z =0. \end{cases}
Com \lambda_3\approx -2{,}4735\]:
\[\begin{cases} -0{,}5265\,x + y =0,\\[4pt] x + 6{,}4735\,y + 2z =0,\\[4pt] 2y + 0{,}4735\,z =0. \end{cases}\]
Da primeira equação \(y=0{,}5265\,x. Da terceira:
Checagem rápida: como \tau é simétrica, essas direções unitárias devem ser mutuamente ortogonais — ao calcular os produtos internos obtemos valores próximos de zero (erro numérico pequeno), o que confirma coerência.]