Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite: 1,-1 / 3,1 / 9,-1 / 27, \ldots
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são 1,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{9},\;-\tfrac{1}{27},\ldots para n\ge 1.
O que pede:
Encontrar o termo geral a_{n} (expressão de a_n em função de n).
Dizer se a sequência converge ou diverge; se convergir, determinar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Primeiro termo: a_{1}=1.
Segundo termo: a_{2}=-\tfrac{1}{3}.
Terceiro termo: a_{3}=\tfrac{1}{9}.
Quarto termo: a_{4}=-\tfrac{1}{27}.
Passo 2
Procuro um padrão entre termos consecutivos: calcule a razão r entre um termo e o anterior usando dois termos quaisquer consecutivos. Por exemplo,
(intuição: \tfrac{1}{3}^{\,n-1} tende a zero porque 3^{\,n-1} cresce sem limite, fazendo a fração ficar arbitrariamente pequena; o fator (-1)^{n-1} apenas alterna o sinal.)
Passo 6
Resumo prático para a prova: reconhecer uma sequência geométrica pela razão constante r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usar a_n=a_1 r^{n-1}. Para testar convergência, verificar |r|<1 implica limite zero.
Resposta
a_{n}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}=\dfrac{(-1)^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}
Converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0