Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
1,-1 / 3,1 / 9,-1 / 27, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são 1,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{9},\;-\tfrac{1}{27},\ldots para n\ge 1.
O que pede:
  • Encontrar o termo geral a_{n} (expressão de a_n em função de n).
  • Dizer se a sequência converge ou diverge; se convergir, determinar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Primeiro termo: a_{1}=1.
  • Segundo termo: a_{2}=-\tfrac{1}{3}.
  • Terceiro termo: a_{3}=\tfrac{1}{9}.
  • Quarto termo: a_{4}=-\tfrac{1}{27}.

Passo 2

Procuro um padrão entre termos consecutivos: calcule a razão r entre um termo e o anterior usando dois termos quaisquer consecutivos. Por exemplo,
r=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{1}=-\tfrac{1}{3}.
Verificando com outro par:
\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\tfrac{1}{9}}{-\tfrac{1}{3}}=-\tfrac{1}{3}, \qquad \frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-\tfrac{1}{27}}{\tfrac{1}{9}}=-\tfrac{1}{3}.
Ou seja, a razão entre termos consecutivos é sempre r=-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Quando a razão entre termos consecutivos é constante, a sequência é geométrica. A fórmula geral de uma progressão geométrica é
a_n = a_1 \, r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo (isto é, o termo correspondente a n=1) e r é a razão comum. Aqui temos a_1=1 e r=-\tfrac{1}{3}. Substituindo:
a_n = 1\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{\,n-1} = \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}.

Passo 4

Posso também escrever o termo geral de forma equivalente separando o sinal:
a_n = \frac{(-1)^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}.
Essa forma é útil para ver o sinal alternante ( (-1)^{n-1}) e a magnitude ( 3^{-(n-1)}).

Passo 5

Agora a questão da convergência. Para uma sequência geométrica a_n=a_1 r^{n-1} vale o critério simples:
  • Se |r|<1, então r^{n-1}\to 0 quando n\to\infty, logo a_n\to 0.
  • Se |r|>1, os termos divergem em módulo para infinito.
  • Se |r|=1, a sequência não converge (ou é constante se r=1).
No nosso caso |r|=\left|-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3}<1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{\,n-1} = 0.
(intuição: \tfrac{1}{3}^{\,n-1} tende a zero porque 3^{\,n-1} cresce sem limite, fazendo a fração ficar arbitrariamente pequena; o fator (-1)^{n-1} apenas alterna o sinal.)

Passo 6

Resumo prático para a prova: reconhecer uma sequência geométrica pela razão constante r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usar a_n=a_1 r^{n-1}. Para testar convergência, verificar |r|<1 implica limite zero.

Resposta

a_{n}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\,n-1}=\dfrac{(-1)^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}
Converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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