Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
1 / 2,1 / 4,1 / 8,1 / 16, \ldots

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • São dados os primeiros termos da sequência (com n\ge 1):
    \; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{4},\; \tfrac{1}{8},\; \tfrac{1}{16},\ldots
  • O enunciado pede:
    1. Encontrar o termo geral a_{n} da sequência (para \,n\ge 1).
    2. Determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.

Passo 2

Observar o padrão dos termos (como reconhecer o tipo de sequência).
  • Compare termos consecutivos: \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}, etc.
  • Cada termo é obtido multiplicando o anterior por \dfrac{1}{2}. Isso indica que a sequência é geométrica (cada termo é o anterior vezes uma constante).

Passo 3

Recordando a definição e a fórmula da sequência geométrica.
  • Uma sequência geométrica é aquela em que existe uma constante r (a razão) tal que a_{n+1} = r\cdot a_n\quad\text{para todo }n.
  • A fórmula geral de uma sequência geométrica, usando o primeiro termo a_1 e a razão r, é a_n = a_1\,r^{\,n-1},onde:
    • a_n é o termo de ordem n,
    • a_1 é o primeiro termo,
    • r é a razão (constante).
Vou usar essa fórmula para achar a_n.

Passo 4

Determinar a_1 e r a partir dos termos dados.
  • O primeiro termo é \;a_1=\dfrac{1}{2}.
  • A razão r pode ser encontrada por \;r=\dfrac{a_2}{a_1}. Calculando com os números dados: r=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da sequência geométrica.
  • Substituindo a_1=\dfrac{1}{2} e r=\dfrac{1}{2} em \;a_n = a_1 r^{\,n-1}: a_n = \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
  • Simplificando a potência: a_n = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n} = \tfrac{1}{2^{\,n}}.

Passo 6

Explicar didaticamente por que essa expressão gera os termos dados.
  • Para n=1: \;a_1=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\tfrac{1}{2} (confere).
  • Para n=2: \;a_2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4} (confere).
  • Em geral cada aumento de n multiplica por \tfrac{1}{2}, como observamos nos termos.

Passo 7

Determinar convergência: ideia e prova curta.
  • Fato conhecido (teorema sobre progressões geométricas): se |r|<1 então \;r^{n}\to 0 quando n\to\infty.
  • Aqui r=\tfrac{1}{2} satisfaz 0<\tfrac{1}{2}<1, logo \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\to 0 quando n\to\infty.
Breve justificativa do limite (um argumento com \varepsilon):
  • Dado \varepsilon>0, queremos N tal que para todo n\ge N valha \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}<\varepsilon.
  • Tomando logaritmo (observe que \ln(\tfrac{1}{2})<0) obtemos a condição n>\dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln(\tfrac{1}{2})}.Como o lado direito é um número real, existe um inteiro N maior que ele; para esse N a desigualdade acima vale para todo n\ge N. Isso prova que o limite é 0.
  • Intuição mais simples: multiplicar por \tfrac{1}{2} várias vezes vai deixando o número cada vez mais próximo de 0.
Outra observação (propriedade de monotonia/boundedness):
  • A sequência é positiva e estritamente decrescente (cada termo é metade do anterior) e é limitada inferiormente por 0. Pelo teorema do monotone convergence, toda sequência monótona e limitada converge; o único possível limite aqui é 0.

Passo 8

Resumo do raciocínio (sem repetir como resposta final).
  • Encontrou-se que a sequência é geométrica com razão \tfrac{1}{2} e primeiro termo \tfrac{1}{2}, resultando em a_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • Como |\tfrac{1}{2}|<1, os termos tendem a 0, portanto a sequência converge.

Resposta

\;a_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\tfrac{1}{2^{n}}\n
Converge; \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0

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