Encontre o termo geral
das sequências abaixo (com
) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- São dados os primeiros termos da sequência (com
):
- O enunciado pede:
- Encontrar o termo geral
da sequência (para ). - Determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
- Encontrar o termo geral
Passo 2
Observar o padrão dos termos (como reconhecer o tipo de sequência).
- Compare termos consecutivos:
, , etc. - Cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. Isso indica que a sequência é geométrica (cada termo é o anterior vezes uma constante).
Passo 3
Recordando a definição e a fórmula da sequência geométrica.
- Uma sequência geométrica é aquela em que existe uma constante
(a razão) tal que - A fórmula geral de uma sequência geométrica, usando o primeiro termo
e a razão , é onde: -
é o termo de ordem , -
é o primeiro termo, -
é a razão (constante).
-
Vou usar essa fórmula para achar
.
Passo 4
Determinar
e
a partir dos termos dados.
- O primeiro termo é
. - A razão
pode ser encontrada por . Calculando com os números dados:
Passo 5
Aplicar a fórmula da sequência geométrica.
- Substituindo
e em : - Simplificando a potência:
Passo 6
Explicar didaticamente por que essa expressão gera os termos dados.
- Para
: (confere). - Para
: (confere). - Em geral cada aumento de
multiplica por , como observamos nos termos.
Passo 7
Determinar convergência: ideia e prova curta.
- Fato conhecido (teorema sobre progressões geométricas): se
então quando . - Aqui
satisfaz , logo quando .
Breve justificativa do limite (um argumento com
):
- Dado
, queremos tal que para todo valha . - Tomando logaritmo (observe que
) obtemos a condição Como o lado direito é um número real, existe um inteiro maior que ele; para esse a desigualdade acima vale para todo . Isso prova que o limite é . - Intuição mais simples: multiplicar por
várias vezes vai deixando o número cada vez mais próximo de .
Outra observação (propriedade de monotonia/boundedness):
- A sequência é positiva e estritamente decrescente (cada termo é metade do anterior) e é limitada inferiormente por
. Pelo teorema do monotone convergence, toda sequência monótona e limitada converge; o único possível limite aqui é .
Passo 8
Resumo do raciocínio (sem repetir como resposta final).
- Encontrou-se que a sequência é geométrica com razão
e primeiro termo , resultando em . - Como
, os termos tendem a , portanto a sequência converge.
Resposta
Converge;