Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\frac{3 n^{2}-2 n+5}{n^{2}+7}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3 n^{2}-2 n+5}{n^{2}+7}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é uma razão de polinômios em n, ambos de grau 2.

Passo 2

Observação útil (intuição): quando n fica muito grande, os termos de maior grau dominam polinômios. Aqui tanto numerador quanto denominador têm grau 2, então a intuição sugere que o limite seja a razão dos coeficientes dos termos de grau 2, isto é \dfrac{3}{1}=3. Vou tornar isso preciso dividindo numerador e denominador por n^{2}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos uma forma que facilita o passo para o limite:
a_{n}=\frac{3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}{1+\dfrac{7}{n^{2}}}.
Aqui cada fração com n no denominador tende a 0 quando n\to\infty. Vou justificar isso no próximo passo.

Passo 4

Mostrar que \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty.
Justificativa curta e padrão: dado \varepsilon>0, se escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} então para todo n\ge N vale
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo \dfrac{1}{n}\to 0. Como \dfrac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{n} para n\ge1, também \dfrac{1}{n^{2}}\to 0.

Passo 5

Usando propriedades de limites (limite da soma, produto e quociente quando denominador tende a número não nulo), passa-se ao limite da forma obtida no Passo 3:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty}\!\left(3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^{2}}\right)}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}\!\left(1+\frac{7}{n^{2}}\right)} = \frac{3-0+0}{1+0}= \frac{3}{1}=3.
Portanto a sequência converge e seu limite sugerido pela intuição foi confirmado: 3.

Passo 6

Para entregar uma justificativa completa estilo \varepsilon- N (prova formal de convergência) mostro que \lim_{n\to\infty} a_n=3 usando estimativa de diferença:
Calcule a diferença:
\left|a_n-3\right| =\left|\frac{3n^{2}-2n+5}{n^{2}+7}-3\right| =\left|\frac{-2n-16}{n^{2}+7}\right| =\frac{2n+16}{n^{2}+7}.
Como n^{2}+7\ge n^{2} para todo n\ge1, tem-se
\left|a_n-3\right|\le \frac{2n+16}{n^{2}}= \frac{2}{n}+\frac{16}{n^{2}}.
Agora dado \varepsilon>0 quero \left|a_n-3\right|<\varepsilon. Basta garantir simultaneamente
\frac{2}{n}<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{16}{n^{2}}<\frac{\varepsilon}{2}.
A primeira desigualdade é satisfeita se n> \dfrac{4}{\varepsilon}. A segunda é satisfeita se n^{2}>\dfrac{32}{\varepsilon}, i.e. n> \sqrt{\dfrac{32}{\varepsilon}}. Portanto escolhendo
N=\max\left(1,\left\lceil \frac{4}{\varepsilon}\right\rceil,\left\lceil \sqrt{\frac{32}{\varepsilon}}\right\rceil\right)
tem-se para todo n\ge N que \left|a_n-3\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. Isso prova formalmente que a_n\to 3.

Resposta

Converge, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=3

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