Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo: a_{n}=\frac{3 n^{2}-2 n+5}{n^{2}+7}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3 n^{2}-2 n+5}{n^{2}+7}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é uma razão de polinômios em n, ambos de grau 2.
Passo 2
Observação útil (intuição): quando n fica muito grande, os termos de maior grau dominam polinômios. Aqui tanto numerador quanto denominador têm grau 2, então a intuição sugere que o limite seja a razão dos coeficientes dos termos de grau 2, isto é \dfrac{3}{1}=3. Vou tornar isso preciso dividindo numerador e denominador por n^{2}.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos uma forma que facilita o passo para o limite:
Aqui cada fração com n no denominador tende a 0 quando n\to\infty. Vou justificar isso no próximo passo.
Passo 4
Mostrar que \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty.
Justificativa curta e padrão: dado \varepsilon>0, se escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} então para todo n\ge N vale
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo \dfrac{1}{n}\to 0. Como \dfrac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{n} para n\ge1, também \dfrac{1}{n^{2}}\to 0.
Passo 5
Usando propriedades de limites (limite da soma, produto e quociente quando denominador tende a número não nulo), passa-se ao limite da forma obtida no Passo 3:
Portanto a sequência converge e seu limite sugerido pela intuição foi confirmado: 3.
Passo 6
Para entregar uma justificativa completa estilo \varepsilon-N (prova formal de convergência) mostro que \lim_{n\to\infty} a_n=3 usando estimativa de diferença:
A primeira desigualdade é satisfeita se n> \dfrac{4}{\varepsilon}. A segunda é satisfeita se n^{2}>\dfrac{32}{\varepsilon}, i.e. n> \sqrt{\dfrac{32}{\varepsilon}}. Portanto escolhendo