Encontre o termo geral da seqüência, começando \operatorname{com} n=1, determine se a seqüência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left(1-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right), \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
a_1 = 1 - \tfrac12,\quad a_2 = \tfrac13 - \tfrac12,\quad a_3 = \tfrac13 - \tfrac14,\quad a_4 = \tfrac15 - \tfrac14,\;\ldots
e pede (i) o termo geral a_n com n começando em 1, (ii) verificar se a sequência converge e (iii) achar o limite, se existir. Vamos usar observação dos primeiros termos e padrão de sinais e denominações para deduzir a_n.

Passo 2

Calculemos os primeiros termos em forma de fração única para ver o padrão dos denominadores e sinais:
a_1 = 1 - \tfrac12 = \tfrac12,\quad a_2 = \tfrac13 - \tfrac12 = -\tfrac16,\quad a_3 = \tfrac13 - \tfrac14 = \tfrac1{12},\quad a_4 = \tfrac15 - \tfrac14 = -\tfrac1{20}.
Os denominadores são 2,6,12,20,\dots e os sinais alternam +,-,+,-,\dots.

Passo 3

Observamos que
2 = 1\cdot2,\quad 6 = 2\cdot3,\quad 12 = 3\cdot4,\quad 20 = 4\cdot5,\;\dots
e que os sinais seguem (-1)^{n-1}. Logo o termo geral é
a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}.

Passo 4

Para verificar a convergência, note que
\bigl|a_n\bigr| = \frac{1}{n(n+1)}
e \lim_{n\to\infty}1/[n(n+1)]=0. Pelo teste de convergência de termos, a_n\to0.

Resposta

O termo geral é
a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}.
A sequência converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Exercícios relacionados