Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{\frac{n}{n+2}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\}_{n=1}^{\infty} onde
a_n = \frac{n}{n+2}.
Precisamos (1) escrever os cinco primeiros termos, (2) decidir se a sequência converge e, em caso afirmativo, (3) calcular o seu limite. Vamos usar o conceito de limite de sequência quando n\to\infty e manipulações algébricas simples.

Passo 2

Para obter os cinco primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4,5 em
a_n = \frac{n}{n+2}.
Assim:
a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3},\quad a_2 = \frac{2}{2+2} = \frac{1}{2},\quad a_3 = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5},
a_4 = \frac{4}{4+2} = \frac{2}{3},\quad a_5 = \frac{5}{5+2} = \frac{5}{7}.

Passo 3

Para investigar a convergência, observe que
\frac{n}{n+2} = \frac{n}{n\,(1 + \tfrac{2}{n})} = \frac{1}{1 + \tfrac{2}{n}}.
À medida que n \to \infty, temos \tfrac{2}{n}\to 0.

Passo 4

Substituindo na expressão,
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \tfrac{2}{n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1.
Logo, a sequência converge.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
\displaystyle \frac{1}{3}, \; \frac{1}{2}, \; \frac{3}{5}, \; \frac{2}{3}, \; \frac{5}{7}.
A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} = 1.

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