(a) Escreva os quatro primeiros termos da seqüência \left\{1+(-1)^{n}\right\}, começando \operatorname{com} n=0.
(b) Escreva os quatro primeiros termos da seqüência {\cos n \pi}, começando \operatorname{com} n=0.
(c) Use os resultados nas partes (a) e (b) para expressar o termo geral da seqüência 4,0,4,0, \ldots de duas formas diferentes, começando \operatorname{com} n=0.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Os quatro primeiros termos da sequência \{1+(-1)^n\} para n=0,1,2,3.
  2. Os quatro primeiros termos da sequência \{\cos(n\pi)\} para n=0,1,2,3.
  3. Usar esses resultados para achar o termo geral da sequência 4,0,4,0,\dots (começando em n=0) de duas formas diferentes.
    O conteúdo é sequência e termo geral, e vamos usar as propriedades de (-1)^n e de \cos(n\pi).

Passo 2

Para a sequência \{1+(-1)^n\}:
  • Para n=0:
1+(-1)^0 = 1+1 = 2.
  • Para n=1:
1+(-1)^1 = 1-1 = 0.
  • Para n=2:
1+(-1)^2 = 1+1 = 2.
  • Para n=3:
1+(-1)^3 = 1-1 = 0.
Logo, os quatro primeiros termos são
2,\,0,\,2,\,0.

Passo 3

Para a sequência \{\cos(n\pi)\}:
  • Para n=0: \cos(0\pi)=\cos0=1.
  • Para n=1: \cos(1\pi)=\cos\pi=-1.
  • Para n=2: \cos(2\pi)=\cos0=1.
  • Para n=3: \cos(3\pi)=\cos\pi=-1.
    Logo, os quatro primeiros termos são
1,\,-1,\;1,\,-1.

Passo 4

Queremos a sequência 4,0,4,0,\dots. Observando a parte (a), a sequência \{1+(-1)^n\} produz 2,0,2,0,\dots. Basta multiplicar por 2 para obter 4,0,4,0,\dots. Assim,
a_n = 2\bigl(1+(-1)^n\bigr).

Passo 5

Pela parte (b), temos \cos(n\pi)=(-1)^n. Então 1+\cos(n\pi)=1+(-1)^n. Multiplicando por 2 dá de novo a sequência 4,0,4,0,\dots. Logo,
a_n = 2\bigl(1+\cos(n\pi)\bigr).

Resposta

a_n = 2\bigl(1+(-1)^n\bigr)
a_n = 2\bigl(1+\cos(n\pi)\bigr)

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