Escreva os primeiros cinco termos de cada sequência:
a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a sequência \,a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}\, e pede para escrever os primeiros cinco termos. Vou considerar como primeiros cinco termos os correspondentes a n=1,2,3,4,5.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula geral da sequência é \,a_{n}=\frac{n!}{2^{n}}\,.
  • Temos que calcular a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.

Passo 2

O que significa cada coisa na fórmula (aqui uma mini-aula rápida e prática):
  • n é o índice do termo; para o k-ésimo termo toma-se n=k.
  • n! significa fatorial de n. Definição: \,n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n\, para n\ge1. Exemplos: 1! = 1, 2! = 1\cdot2 = 2, 3! = 1\cdot2\cdot3 = 6, 4! = 24, 5! = 120.
  • 2^{n} é a potência de base 2 e expoente n. Exemplos: 2^{1}=2, 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, 2^{5}=32.
    Como calcular os termos sem erro: basta calcular n! e 2^{n} e fazer a divisão \frac{n!}{2^{n}}. Para simplificar frações, é útil dividir numerador e denominador por fatores comuns (por exemplo, potências de 2).

Passo 3

Dica prática (maneira iterativa): existe uma relação entre termos consecutivos que facilita cálculos:
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}=\frac{n!}{2^{n}}\cdot\frac{n+1}{2}=a_n\cdot\frac{n+1}{2}.
Isso permite obter a_{n+1} a partir de a_n multiplicando por \frac{n+1}{2}. Vou usar esse fato quando for conveniente.

Passo 4

Calcular a_{1} e a_{2} passo a passo.
a_{1}=\frac{1!}{2^{1}}=\frac{1}{2}.
a_{2}=\frac{2!}{2^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Observação: a_{2}=a_{1}\cdot\frac{2}{2}=a_{1}.

Passo 5

Calcular a_{3} e a_{4}.
a_{3}=\frac{3!}{2^{3}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Para a_{4}:
a_{4}=\frac{4!}{2^{4}}=\frac{24}{16}.
Simplificando \frac{24}{16} dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{24}{16}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Calcular a_{5}.
a_{5}=\frac{5!}{2^{5}}=\frac{120}{32}.
Simplificando \frac{120}{32} dividindo por 8:
\frac{120}{32}=\frac{15}{4}.
Se preferir decimal: \frac{15}{4}=3{,}75.

Resposta

a_{1}=\frac{1}{2}
a_{2}=\frac{1}{2}
a_{3}=\frac{3}{4}
a_{4}=\frac{3}{2}
a_{5}=\frac{15}{4}

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