Escreva os primeiros cinco termos de cada sequência:
a_{n}=\frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os primeiros cinco termos da sequência definida por
a_{n}=\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}.
Ou seja, precisamos calcular a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5} usando a fórmula acima. As informações que temos são apenas a expressão da sequência e o índice n que toma valores inteiros positivos.

Passo 2

Vou explicar rapidinho o que aparece na fórmula para você não se perder:
  • \ln(n) é o logaritmo natural de n. Tem propriedades úteis: por exemplo \ln(1)=0 e, se n=a^{k}, então \ln(n)=k\ln(a).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada de n; podemos escrever \sqrt{n}=n^{1/2}.
  • Para obter a_{n} basta calcular \ln(n) e \sqrt{n} e dividir: \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}}.
Vou dar para cada termo a forma exata (quando for simplificável) e uma aproximação numérica (essas aproximações normalmente precisam de calculadora; deixo com 6 casas decimais para ficar prático na prova).

Passo 3

Cálculo de a_{1}.
a_{1}=\frac{\ln(1)}{\sqrt{1}}.
Sabendo que \ln(1)=0 e \sqrt{1}=1, temos
a_{1}=\frac{0}{1}=0.

Passo 4

Cálculo de a_{2}.
a_{2}=\frac{\ln(2)}{\sqrt{2}}.
Valores aproximados conhecidos: \ln(2)\approx 0,693147 e \sqrt{2}\approx 1,414214. Dividindo,
a_{2}\approx\frac{0,693147}{1,414214}\approx 0,490129.

Passo 5

Cálculo de a_{3}.
a_{3}=\frac{\ln(3)}{\sqrt{3}}.
Com aproximações: \ln(3)\approx 1,098612 e \sqrt{3}\approx 1,732051. Assim
a_{3}\approx\frac{1,098612}{1,732051}\approx 0,634964.

Passo 6

Cálculo de a_{4}. Aqui existe uma simplificação prática:
a_{4}=\frac{\ln(4)}{\sqrt{4}}.
Como \ln(4)=\ln(2^{2})=2\ln(2) e \sqrt{4}=2, obtemos
a_{4}=\frac{2\ln(2)}{2}=\ln(2).
Portanto em forma exata a_{4}=\ln(2) e numericamente
a_{4}\approx 0,693147.

Passo 7

Cálculo de a_{5}.
a_{5}=\frac{\ln(5)}{\sqrt{5}}.
Usando \ln(5)\approx 1,609438 e \sqrt{5}\approx 2,236068, temos
a_{5}\approx\frac{1,609438}{2,236068}\approx 0,719334.

Resposta

a_{1}=0
a_{2}=\dfrac{\ln(2)}{\sqrt{2}}\approx 0,490129
a_{3}=\dfrac{\ln(3)}{\sqrt{3}}\approx 0,634964
a_{4}=\ln(2)\approx 0,693147
a_{5}=\dfrac{\ln(5)}{\sqrt{5}}\approx 0,719334

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