Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sin (t) j++cos (t) k, com a=i+j e b=i-j, 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
f(t) cdot g(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto escalar entre duas funções vetoriais, f(t) e g(t). A matéria envolvida aqui é o cálculo de produto escalar de vetores no espaço, que é uma operação que resulta em um número (escalar). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores e aplicar isso às funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções vetoriais que temos:
f(t) = a t + b t^2
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k
Com os vetores constantes:
a = i + j
b = i - j

Passo 3

Vamos primeiro substituir a e b nas expressões de f(t):
f(t) = (i + j) t + (i - j) t^2
Agora, distribuindo os termos:
f(t) = i t + j t + i t^2 - j t^2
Podemos agrupar os termos com i e j:
f(t) = (i t + i t^2) + (j t - j t^2)
f(t) = i (t + t^2) + j (t - t^2)

Passo 4

Agora, temos as duas funções vetoriais em termos de i, j e k:
f(t) = i (t + t^2) + j (t - t^2)
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k

Passo 5

Lembrando que o produto escalar entre dois vetores u = uxi + uyj + uzk e v = vxi + vyj + vzk é dado por:
u cdot v = uxvx + uyvy + uzvz

Passo 6

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso, onde:
f(t) = i (t + t^2) + j (t - t^2) + 0k
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k
Identificando os componentes:
fx = t + t^2, fy = t - t^2, fz = 0
gx = t, gy = sin(t), gz = cos(t)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar:
f(t) cdot g(t) = (t + t^2) cdot t + (t - t^2) cdot sin(t) + 0 cdot cos(t)
Simplificando:
f(t) cdot g(t) = t(t + t^2) + (t - t^2)sin(t)
= t^2 + t^3 + t sin(t) - t^2 sin(t)

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais agrupando termos semelhantes:
f(t) cdot g(t) = t^3 + t^2 (1 - sin(t)) + t sin(t)

Resposta

Portanto, o produto escalar f(t) cdot g(t) é:
f(t) cdot g(t) = t^3 + t^2 (1 - sin(t)) + t sin(t)

Exercícios relacionados