Sejam
e
e
,
. Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto escalar entre duas funções vetoriais,
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de produto escalar de vetores no espaço, que é uma operação que resulta em um número (escalar). Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores e aplicar isso às funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções vetoriais que temos:
Com os vetores constantes:
Passo 3
Vamos primeiro substituir
e
nas expressões de
:
Agora, distribuindo os termos:
Podemos agrupar os termos com
e
:
Passo 4
Agora, temos as duas funções vetoriais em termos de
,
e
:
Passo 5
Lembrando que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Passo 6
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso, onde:
Identificando os componentes:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar:
Simplificando:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais agrupando termos semelhantes:
Resposta
Portanto, o produto escalar
é: