Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sin (t) j++cos (t) k, com a=i+j e b=i-j, 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
f(t)+g(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está dentro do conteúdo de funções vetoriais. Precisamos calcular a soma das funções vetoriais f(t) e g(t). Para isso, vamos usar propriedades básicas de vetores e operações com funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções vetoriais que temos:
f(t) = a , t + b , t^2
g(t) = t , i + sin(t) , j + cos(t) , k
Aqui, a e b são vetores constantes, e i, j, k são os vetores unitários nos eixos x, y e z respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir os valores de a e b nas funções:
a = i + j
b = i - j
Então,
f(t) = (i + j) , t + (i - j) , t^2

Passo 4

Agora, vamos distribuir os termos:
f(t) = i , t + j , t + i , t^2 - j , t^2
Podemos agrupar os componentes semelhantes:
f(t) = (i , t + i , t^2) + (j , t - j , t^2)
f(t) = i (t + t^2) + j (t - t^2)

Passo 5

Agora, vamos somar f(t) e g(t):
f(t) + g(t) = i (t + t^2) + j (t - t^2) + t , i + sin(t) , j + cos(t) , k
Vamos agrupar os termos com os mesmos vetores unitários:
  • Componentes de i:
i (t + t^2) + t , i = i (t + t^2 + t) = i (2t + t^2)
  • Componentes de j:
j (t - t^2) + sin(t) , j = j (t - t^2 + sin(t))
  • Componente de k:
cos(t) , k

Passo 6

Finalmente, combinando tudo, temos:
f(t) + g(t) = (2t + t^2) i + (t - t^2 + sin(t)) j + cos(t) k

Resposta

A soma das funções vetoriais é:
f(t) + g(t) = (2t + t^2) i + (t - t^2 + sin(t)) j + cos(t) k

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