Encontre a TFTD inversa de cada transformação especificada abaixo para -\pi \leq \Omega\) \(<\pi\). \(X(\Omega)= \begin{cases}0, & |\Omega|<0.2 \pi \\\\ 1, & \text { caso contrário }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de tempo-discreto (TFTD inversa) de
X(\Omega)= \begin{cases} 0, & |\Omega|<0.2\pi,\\\\ 1, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
para -\pi\le\Omega<\pi.
O conteúdo é a relação entre uma função banda-de-parede em frequência e seu sinal no domínio do tempo, usando a fórmula
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}\,d\Omega.

Passo 2

Aplicamos a definição da inversa:
x[n] =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}\,d\Omega =\frac{1}{2\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{-0.2\pi}1\cdot e^{j\Omega n}d\Omega +\int_{0.2\pi}^{\pi}1\cdot e^{j\Omega n}d\Omega\Bigr).

Passo 3

Para n\neq0 usamos
\int e^{j\Omega n}d\Omega=\frac{e^{j\Omega n}}{j\,n},
portanto
\int_{0.2\pi}^{\pi}e^{j\Omega n}d\Omega =\frac{1}{j\,n}\bigl(e^{j\pi n}-e^{j0.2\pi n}\bigr)
e
\int_{-\pi}^{-0.2\pi}e^{j\Omega n}d\Omega =\frac{1}{j\,n}\bigl(e^{-j0.2\pi n}-e^{-j\pi n}\bigr).

Passo 4

Somando esses dois trechos dá
\frac{1}{j\,n}\bigl[e^{j\pi n}-e^{j0.2\pi n}+e^{-j0.2\pi n}-e^{-j\pi n}\bigr] =\frac{1}{j\,n}\bigl[(-1)^n- e^{j0.2\pi n}+e^{-j0.2\pi n}-(-1)^n\bigr] =-\frac{2}{n}\sin(0.2\pi n).

Passo 5

Logo, para n\neq0
x[n] =\frac{1}{2\pi}\Bigl(-\frac{2}{n}\sin(0.2\pi n)\Bigr) =-\frac{\sin(0.2\pi n)}{\pi\,n}.

Passo 6

Para n=0 calculamos diretamente a integral de 1 nas duas bandas:
x[0] =\frac{1}{2\pi}\bigl[(\pi-0.2\pi)+(\pi-0.2\pi)\bigr] =\frac{1.6\pi}{2\pi}=0.8.

Resposta

x[n]= \begin{cases} 0.8, & n=0,\\\\ -\dfrac{\sin(0.2\pi n)}{\pi\,n}, & n\neq0. \end{cases}

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