Encontre a TFTD inversa de cada transformação especificada abaixo para -\pi \leq \Omega\) \(<\pi\). \(X(\Omega)= \begin{cases}1, & |\Omega|<0.4 \pi \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da Transformada de Fourier no Tempo Discreto (TFTD) de
X(\Omega)= \begin{cases} 1, & |\Omega|<0.4\pi\\\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}á
definida em -\pi\le\Omega<\pi. Para isso vamos usar a fórmula da inversa da TFTD e as propriedades de integração de exponenciais complexas.

Passo 2

A fórmula da inversa da TFTD é
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)\,e^{j\Omega n}\,d\Omega.

Passo 3

Como X(\Omega)=0 fora de |\Omega|<0.4\pi, restringimos os limites de integração:
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-0.4\pi}^{0.4\pi}e^{j\Omega n}\,d\Omega.

Passo 4

Para n\neq 0 usamos
\int e^{j\Omega n}\,d\Omega = \frac{e^{j\Omega n}}{j\,n}
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x[n]=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{j\Omega n}}{j\,n}\right]_{\Omega=-0.4\pi}^{\Omega=0.4\pi} =\frac{1}{2\pi\,j\,n}\bigl(e^{j0.4\pi n}-e^{-j0.4\pi n}\bigr).

Passo 5

Reconhecendo a fórmula de seno:
e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin(\theta)
temos para n\neq 0:
x[n] =\frac{1}{2\pi\,j\,n}\cdot2j\sin(0.4\pi n) =\frac{\sin(0.4\pi n)}{\pi\,n}.

Passo 6

Para n=0 avaliamos diretamente a integral anterior:
x[0] =\frac{1}{2\pi}\int_{-0.4\pi}^{0.4\pi}1\,d\Omega =\frac{0.8\pi}{2\pi} =0.4.

Resposta

x[n]= \begin{cases} \dfrac{\sin\bigl(0.4\pi\,n\bigr)}{\pi\,n}, & n\neq 0,\\[1em] 0.4, & n=0. \end{cases}]

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