Encontre a transformada de Fourier das seguintes funções:
f(t)=\sin \omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\cos \omega_{0}\left(t-3 t_{0}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t) = \sin\bigl(\omega_{0}(t - t_{0})\bigr)\;+\;\cos\bigl(\omega_{0}(t - 3t_{0})\bigr).
O conteúdo principal envolve:
  1. A definição
\mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
  1. A representação de senos e cossenos em termos de exponenciais complexas
  2. A propriedade de deslocamento no tempo, que multiplica a transformada por e^{-i\omega t_{d}}.

Passo 2

Escrevemos cada termo de f(t) como combinações de exponenciais:
\sin\bigl(\omega_{0}(t - t_{0})\bigr) = \frac{1}{2i}\Bigl(e^{\,i\omega_{0}(t - t_{0})}-e^{-\,i\omega_{0}(t - t_{0})}\Bigr),
\cos\bigl(\omega_{0}(t - 3t_{0})\bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(e^{\,i\omega_{0}(t - 3t_{0})}+e^{-\,i\omega_{0}(t - 3t_{0})}\Bigr).

Passo 3

Pela linearidade e pela propriedade de deslocamento no tempo, sabemos que
\mathcal{F}\{e^{\,i\omega_{0}(t - t_{d})}\} = e^{-\,i\omega_{0}t_{d}}\;\mathcal{F}\{e^{\,i\omega_{0}t}\} = e^{-\,i\omega_{0}t_{d}}\;2\pi\,\delta(\omega - \omega_{0}),
\mathcal{F}\{e^{-\,i\omega_{0}(t - t_{d})}\} = e^{\,i\omega_{0}t_{d}}\;2\pi\,\delta(\omega + \omega_{0}).

Passo 4

Aplicando isso a cada exponencial de f(t):
  1. Para \sin(\omega_{0}(t - t_{0})) temos
\mathcal{F}\{\sin(\omega_{0}(t - t_{0}))\} =\frac{1}{2i}\bigl(e^{-\,i\omega_{0}t_{0}}\,2\pi\,\delta(\omega - \omega_{0}) - e^{\,i\omega_{0}t_{0}}\,2\pi\,\delta(\omega + \omega_{0})\bigr).
  1. Para \cos(\omega_{0}(t - 3t_{0})) temos
\mathcal{F}\{\cos(\omega_{0}(t - 3t_{0}))\} =\frac{1}{2}\bigl(e^{-\,i\omega_{0}(3t_{0})}\,2\pi\,\delta(\omega - \omega_{0}) + e^{\,i\omega_{0}(3t_{0})}\,2\pi\,\delta(\omega + \omega_{0})\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados e agrupando os \delta:
\mathcal{F}\{f(t)\} =2\pi\Bigl[ \delta(\omega - \omega_{0})\Bigl(\tfrac{e^{-i\omega_{0}t_{0}}}{2i}+\tfrac{e^{-i3\omega_{0}t_{0}}}{2}\Bigr) +\delta(\omega + \omega_{0})\Bigl(-\tfrac{e^{i\omega_{0}t_{0}}}{2i}+\tfrac{e^{i3\omega_{0}t_{0}}}{2}\Bigr) \Bigr].

Resposta

\boxed{ \mathcal{F}\{f(t)\} =2\pi\, \delta(\omega - \omega_{0})\Bigl(\tfrac{e^{-i\omega_{0}t_{0}}}{2i}+\tfrac{e^{-i3\omega_{0}t_{0}}}{2}\Bigr) \;+\; 2\pi\, \delta(\omega + \omega_{0})\Bigl(-\tfrac{e^{i\omega_{0}t_{0}}}{2i}+\tfrac{e^{i3\omega_{0}t_{0}}}{2}\Bigr). }

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