Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(b) u_{x x}-2 u_{x y}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDP
u_{xx} - 2\,u_{xy} + u_{yy} = 0
e pede para (a) determinar seu tipo em termos de equações de segunda ordem lineares e (b) se for hiperbólica ou parabólica, passar para a forma normal indicando mudança de variáveis e resolver. Vamos usar o discriminante B^2-AC para a classificação e o método de característica para a mudança de variáveis.

Passo 2

Na forma geral
A\,u_{xx} + 2B\,u_{xy} + C\,u_{yy} + \dots = 0
temos A=1, 2B=-2 logo B=-1, e C=1. O discriminante é
B^2 - A\,C = (-1)^2 - 1\cdot1 = 1 - 1 = 0,
portanto a EDP é de tipo parabólica.

Passo 3

Para equações parabólicas há uma única família de características dada por
A\,(dy)^2 \;-\;2B\,dx\,dy\;+\;C\,(dx)^2 \;=\;0.
Substituindo A=1, B=-1, C=1 obtemos
(dy)^2 + 2\,dx\,dy + (dx)^2 = (dy + dx)^2 = 0
ou seja dy = -dx e as características são y + x = \text{constante}. Definimos, pois,
\xi = x + y, \quad \eta = x.

Passo 4

Usamos a regra da cadeia para reescrever as derivadas:
u_x = u_\xi\,\xi_x + u_\eta\,\eta_x = u_\xi + u_\eta, \qquad u_y = u_\xi\,\xi_y + u_\eta\,\eta_y = u_\xi.
Em seguida calculamos
u_{xx} = u_{\xi\xi} + 2\,u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}, \quad u_{xy} = u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta}, \quad u_{yy} = u_{\xi\xi}.
Substituindo na EDP original:
u_{xx} - 2\,u_{xy} + u_{yy} = (u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}) -2(u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta}) +u_{\xi\xi} = u_{\eta\eta} =0.
Logo, na forma canônica obtemos
u_{\eta\eta} = 0.

Passo 5

Integramos duas vezes em \eta:
u(\xi,\eta) = A(\xi)\,\eta + B(\xi),
em que A e B são funções arbitrárias de \xi. Voltando às variáveis originais \xi = x+y, \eta = x, a solução geral é
u(x,y) = A(x+y)\,x + B(x+y).

Resposta

A EDP
u_{xx} - 2\,u_{xy} + u_{yy} = 0
é parabólica. Com a mudança de variáveis \xi = x+y,\;\eta = x
ela passa à forma canônica
u_{\eta\eta} = 0
e a solução geral é
u(x,y) = A(x+y)\,x + B(x+y),
com A e B funções arbitrárias de x+y.

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