Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(a) u_{x y}-u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
u_{xy}-u_{yy}=0
como elíptica, parabólica ou hiperbólica. Se for hiperbólica ou parabólica, queremos ainda levar à forma normal por mudança de variáveis características e, por fim, resolver a equação.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da parte de segunda ordem na forma geral
A\,u_{xx}+B\,u_{xy}+C\,u_{yy}=0:
aqui A=0, B=1 e C=-1. O discriminante é
\Delta = B^2-4AC = 1^2 -4\cdot0\cdot(-1)=1>0,
logo a equação é do tipo hiperbólica.

Passo 3

Para encontrar as variáveis características, usamos a equação
A\,dy^2 - B\,dx\,dy + C\,dx^2 = 0,
ou seja
0\cdot dy^2 -1\cdot dx\,dy -1\cdot dx^2 = -dx\,(dy+dx)=0.
Isso se fatoriza em
dx=0 \quad\text{ou}\quad dy+dx=0.

Passo 4

Integramos cada fator para obter duas famílias de características:
  1. dx=0 x=\text{const}. Chamamos essa constante de \eta, ou seja
\eta = x.
  1. dy+dx=0 d(y+x)=0, logo
\xi = y+x
é constante. Assim escolhemos as novas variáveis
\xi = y+x, \quad \eta = x.

Passo 5

Expressamos \partial_x e \partial_y em \xi,\eta. Como
\xi_x = 1,\;\xi_y=1,\quad \eta_x=1,\;\eta_y=0,
temos
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\xi} + \frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\eta} = \frac{\partial}{\partial\xi} + \frac{\partial}{\partial\eta},
\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial\xi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\xi} + \frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\eta} = \frac{\partial}{\partial\xi}.
Logo
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(u_\xi + u_\eta\Bigr) = u_{\xi\xi}+u_{\eta\xi}, \quad u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(u_\xi\bigr) = u_{\xi\xi}.
Substituindo em u_{xy}-u_{yy}=0 vem
(u_{\xi\xi}+u_{\eta\xi}) - u_{\xi\xi} = u_{\eta\xi}=0.

Passo 6

A forma normal é
u_{\xi\eta}=0.
Isso significa que u(\xi,\eta) se separa como soma de função de \xi e função de \eta, ou seja
u(\xi,\eta) = F(\xi) + G(\eta),
onde F e G são arbitrárias. Voltando às variáveis originais, \xi=y+x e \eta=x, temos
u(x,y) = F(x+y) + G(x).

Resposta

A equação é hiperbólica. Em variáveis características \xi = x+y, \eta = x, leva-se à forma normal
u_{\xi\eta}=0
e a solução geral é
u(x,y)=F(x+y)+G(x),
com F e G funções arbitrárias.

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