Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDP
e pede para (a) determinar seu tipo em termos de equações de segunda ordem lineares e (b) se for hiperbólica ou parabólica, passar para a forma normal indicando mudança de variáveis e resolver. Vamos usar o discriminante
para a classificação e o método de característica para a mudança de variáveis.
Passo 2
Na forma geral
temos
,
logo
, e
. O discriminante é
portanto a EDP é de tipo parabólica.
Passo 3
Para equações parabólicas há uma única família de características dada por
Substituindo
,
,
obtemos
ou seja
e as características são
. Definimos, pois,
Passo 4
Usamos a regra da cadeia para reescrever as derivadas:
Em seguida calculamos
Substituindo na EDP original:
Logo, na forma canônica obtemos
Passo 5
Integramos duas vezes em
:
em que
e
são funções arbitrárias de
. Voltando às variáveis originais
,
, a solução geral é
Resposta
A EDP
é parabólica. Com a mudança de variáveis
ela passa à forma canônica
ela passa à forma canônica
e a solução geral é
com
e
funções arbitrárias de
.