Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a EDP
quanto ao tipo (hiperbólica, parabólica ou elíptica) e, sendo parabolica ou hiperbólica, levá-la à forma normal por mudança de variáveis e resolver. O conteúdo aqui é classificação de EDP de segunda ordem com coeficientes constantes, mudança para coordenadas características e solução da forma canônica.
Passo 2
Para classificar usamos a forma geral
onde aqui
,
(logo
) e
. Calculamos o discriminante
Como
, a EDP é de tipo parabolico.
Passo 3
Para a forma canônica buscamos a única direção característica real, dada por
Integramos essa reta característica:
Passo 4
Escolhemos as novas variáveis
que garantem independência entre
e
. Vamos reescrever as derivadas:
Derivando de novo:
Passo 5
Substituindo na EDP original:
Logo a EDP em coordenadas
fica
que é a forma normal canônica.
Passo 6
Integramos duas vezes em
:
onde
e
são funções arbitrárias de
.
Resposta
Voltando a
com
e
, a solução geral é
onde
e
são funções arbitrárias de uma variável.