Encontre todas as antiderivadas de f(x)=x^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=x^-1 e pede todas as antiderivadas, ou seja, a família de primitivas de f. O conteúdo envolve a integração de potências e o caso especial do expoente -1.

Passo 2

Para um expoente geral nneq -1, a regra de potência para integrais é
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C
Essa fórmula falha exatamente quando n=-1, pois dividir por zero não faz sentido.

Passo 3

No caso n=-1, ou seja, para f(x)=x^-1, recorre-se à primitiva que satisfaz
ddxl(lnlvert xrvertr)=1x
Assim,
integral x^-1,dx = lnlvert xrvert + C

Passo 4

Basta verificar que
ddxl(lnlvert xrvert + Cr) = 1x,
confirmando que lnlvert xrvert + C é toda a família de antiderivadas de x^-1.

Resposta

F(x)=lnlvert xrvert + C, CinR

Exercícios relacionados